數學可能會變得非常複雜。幸運的是，并非所有的數學問題都需要難以理解。以下是數學領域目前任何人都可以理解的五個問題，但沒有人能夠解決。

選擇任意數字。如果該數字為偶數，請将其除以 2。如果是奇數，請将其乘以 3 并加以 1。現在使用新得到的這個數字并重複該計算過程。如果你往前推算，你最終會得到1。

數學家們已經嘗試了數百萬個數字，但他們從未找到一個最終沒有達到1的數字。問題是，他們從未能夠證明沒有一個特殊的數字永遠不會得到結果1。有可能有一些非常大的數字是無窮大的，或者可能是一個被困在循環中并且永遠不會達到1的數字。但從來沒有人能夠肯定地證明這一點。

當你搬進你的新家，帶着最喜歡的沙發。到了走廊轉彎處，你想把沙發放在一個拐角處。如果是小沙發，那可能不是問題，但一個非常大的沙發肯定會被卡住。如果你是一個數學家，你會問自己：你可能在拐角處放的最大的沙發是什麼？它也不必是矩形沙發，它可以是任何形狀。

這就是移動沙發問題的本質。具體如下：整個問題在二維平面上，拐角是90度角，走廊的寬度是1。可以容納在拐角處的最大面積是什麼？

可以容納在拐角處的最大面積被稱為——沙發常數。沒有人确切知道它有多大。我們知道沙發常數必須在2.2195和2.8284之間，但是具體的是多少呢？

勾股定理中，這三個字母對應于直角三角形的三條邊。在畢達哥拉斯三角形中，所有三條邊都是整數。讓我們将這個想法擴展到三個維度。在三維中，有四個數字。在上圖中，它們是 a、b、c 和 g。前三個是盒子的尺寸，g是從其中一個頂角到相反底角的對角線。

正如有些三角形的三邊都是整數一樣，也有一些盒子的三條邊和空間對角線（a、b、c 和 g）是整數。但是在三個表面（d，e和f）上還有三個對角線，這提出了一個有趣的問題：是否可以有一個盒子，其中所有7個長度都是整數？

目标是找到一個盒子，其中a² b² c²=g²，其中所有7個數字都是整數。這被稱為完美的長方體。數學家們已經嘗試了許多不同的可能性，但還沒有找到一種有效的可能性。但他們也無法證明這樣的盒子不存在，所以完美長方體到底是否存在？

繪制一個閉環。循環不一定是一個圓，它可以是你想要的任何形狀，但起點和終點必須相遇，循環不能交叉。應該可以在循環内繪制一個正方形，以便正方形的所有四個角都與循環接觸。根據假說，每個閉環（特别是每個平面的簡單閉合曲線）都應該有一個内接正方形，一個所有四個角都位于環上某個位置的正方形。

對于許多其他形狀（如三角形和矩形），這已經得到解決。到目前為止，數學家還沒有正式證明。

幸福結局問題之所以如此命名，是因為它讓兩位從事這項工作的數學家喬治·塞克雷斯和埃絲特·克萊因喜結連理。從本質上講，問題如下：

在一張紙上的随機位置做五個點。假設這些點不是故意排列的（例如，在一條線上），您應該始終能夠連接其中的四個以創建一個凸四邊形，這是一個具有四個邊的形狀，其中所有角都小于180度。這個定理的重點是，你總是能夠創建一個具有五個随機點的凸四邊形，而不管這些點的位置在哪裡。

但對于五邊形，一個五邊形，你需要九個點。對于六邊形，它是17個點。但除此之外，我們還不知道。創建七邊形或任何更大的形狀需要多少個點是一個謎。更重要的是，應該有一個公式來告訴我們任何形狀需要多少點。數學家認為這個方程是M=1 2N-2，其中 M 是點數，N 是形狀中的邊數。但到目前為止，沒有以一個确切的結果。

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