平行四邊形的判定主要從定義入手:即兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形。但是如果将平行四邊形的角、對角線、邊中的三要素中任選兩者進行組合,則會呈現很多不同的命題,那麼這些命題是否能判定一個平行四邊形是平行四邊形呢?對于真命題,我們需要證明,對于假命題,隻需要舉一個反例即可。
角、邊、對角線之間的條件組合
命題1:一組對邊平行且另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形.(假命題)
命題2:一組對邊平行,一組對角相等的四邊形是平行四邊形.(真命題)
命題3:一組對邊平行且一組對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形.(真命題)
命題4:一組對邊相等且一組對角相等的四邊形是平行四邊形.(假命題)
命題5:一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形.(假命題)
命題6:一組對角相等且過這組對角頂點的對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形.(假命題)
命題7:一組對角相等且過這組對角頂點的對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四邊形.(真命題)
從以上的探究中我們可以發現,平行四邊形的判定有以下3個方向:(1)從定義出發,定義可以作圖形的判定;(2)從性質定理的逆命題出發,尋找判定定理;(3)從邊、角和對角線中任意選取2個條件,構造命題,判斷命題真假進而得到判定。
總結:第5、6題利用了角平分線的性質定理進行輔助線的添加。分别是往角兩邊做垂線以及利用三線合一定理補齊成一個等腰三角形。
總結:分類讨論,合理設元,依據勾股定理求解對角線長度。
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