這個錯誤例子直接參見文尾

讨論這個問題前先對齊一下幾個基本理解，如果對下面任何一項不認同，讨論就可以終止了：

1. 0.999...，0.333...，1，1/3都是實數，都有确定的值
2. 0.333...，表示小數位有無窮多個3構成的有理數，它不等于任何一個有限位數的0.333..3。很顯然，它不等于0.3，不等于0.33，不等于0.333，以此類推。同時0.333...是序列｛0.3， 0.33，0.333，...｝的極限
3. 如果A=B，B=C，那麼A=C

錯誤1：文中多處把0.333...寫為0.333..3，這兩種寫法有巨大的差異，混淆了有限與無限。姑且認為隻是筆誤。

錯誤2：（嚴格說不算錯誤）文中的等比數列求和公式，是有限項數列求和的公式。0.333...是無窮多項等比數列求和，當公比q<1時，求和公式為：

0.333...=S∞=a1 /（1-q），a1=0.3，q=0.1，帶入即可求得=1/3

當然，也可以求Sn，n->∞時的取值，即0.333...=Sn，n->∞=1/3，同樣＝1/3

有趣的是，原文中，自己都已經證明出了0.333...=1/3，結論卻說不等于：

原文寫到

0.333...x3 = 1- 0.1n次方，其中n趨于無窮大。

接下來又寫到

“1- 0.1n次方，其中n趨于無窮大 ”這句話用極限表示計算結果=1

把這兩句話和在一起，即可得出0.333...=1/3（見開頭理解3）

錯誤3：混淆了函數與實數取值。文中列出的函數，f（n）= 1-0.1n次方，又畫圖解釋了曲線0.333..3x3 與1的差，得出結論“無限接近但不等于1”

但是f（n）是什麼？是n與1-0.1n次方的一組映射關系。f（1）=0.9，f（2）=0.99，這些都不等于0.333..x3，自然相減會有差，有什麼好奇怪的？（見開頭理解2）

那麼0.333..x3=？它的值＝f（n），n趨于無窮大，即n為任意确定整數時f（n）都不等于0.333...x3，隻有當n->∞，才是0.333...x3的唯一确定值，而這個值通過極限計算，結果嚴格=1（見開頭理解1），這個結果其實文中自己都已經計算出來了，不信看上面“接下來又寫到”那裡。

錯誤的原因在哪？

其實隻要引入極限的概念，就必然得出0.999...=1，所以，所有反駁觀點都會說極限證明是循環論證不能用，而文中自己卻使用極限概念，還得出個自相矛盾的結果。

現代數學極限的概念都是使用e -∂語言，

同濟大學版高等數學 上冊

文中的核心其實是想表達無窮小≠0，翻開任何一本高等數學教材，都能看到，無窮小的幾個重要性質

第一，無窮小不是一個很小的數，所以原文中1與函數曲線的差并不是無窮小，而隻有在n->∞時才是無窮小，這個時候才是1與0.333...x3的差。而無窮小小于任意給定的正數，所以這個差通過極限計算嚴格=0。

第二，0是無窮小中的唯一常數

說到這就不用再講别的了吧。引用知乎網友的一句話，一大部分人學習高數數分的最大障礙，認為無窮小是一個比0大比其他正實數小的實數

另外錯誤的關鍵就是沒有真正理解有限與無限，離散與連續， 整數與實數的概念，隻有理解了這些才能邁入高等數學的大門。特别是實數的稠密性，完備性，連續性

那麼如何證明0.999...=1，或者0.3333...=1/3呢？

初等數學的證明就不用了，這裡引用幾個極其簡單，但不是那麼嚴謹的證明。

1.利用極限的唯一性

首先，0.333...是序列｛0.3， 0.33，0.333，...｝的極限，或者

0.999...是序列｛0.9， 0.99，0.999，...｝的極限

其次1是0.333...x3的極限，或者0.999...的極限（原文中自己認可的）

根據極限的唯一性，所以1=0.999...

同濟大學版高等數學上冊

2，假設1≠0.999...之間還有其他的數，那麼1與0.999...的差必然是0.0000...01

但是因為減數有無限多位9，所以差裡也必然有無限多個0，0.000...，無窮多個0，永遠沒有機會寫最後的1，所以這個差隻能是0

這裡估計很多人看了會覺得别扭，反直覺，這是因為實數相等的判定和日常，7=7這樣整數判定方式不同，因為實數是稠密的，完備的，連續的。

實數軸是沒有空隙，任意兩個确定的實數的關系要麼是大于，小于，要麼等于，沒有其他。兩個不相等的實數中間必然還有其他實數，而如果兩個實數之間沒有其它實數了，則他們必然相等。

3，根據實數相等的定義

兩個實數相等的判定，不是“數軸上它們都是第102個點，所以相等”這樣的方式，因為實數是稠密的，連續的，完備的，而是：

你可以想象它們的差是任意一個很小很小很小的正數，注意是任意的。然而不管這個差有多小，如果都還能再找到一個确定的位數N，它們在比較到這個第N位時達到了你給定的這個小差，然後，我都能告訴你，如果繼續接着算到第N位以後，這兩個實數的差比你任意給的那個小差還要小，如果這個小差不管取什麼值都是這樣的結果，那這兩個實數就相等。

簡單說就是，不管你覺得它們的差有多小（确定的有限），我都能告訴你實際比你想的還要小（因為是無限）。

所以，并不是“因為無限接近，它們就不等”，這樣樸素的直觀感覺，而是有嚴格邏輯的。而這正是數學無窮小危機已經解決了的問題。

其實無限接近并不是沒達到，而是已經嚴格相等了（見上面的解釋），否則如果達不到的話，阿基裡斯就永遠追不上烏龜了，而事實是在有限的時間内烏龜就被追上了，當然你還可以搬出普朗克，說空間是不連續的，然而實數想到的定義也解決了這個追烏龜問題。

引用網友的證明

4，利用戴德金分割證明

附錄-被讨論的錯誤例子

,

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!

查看全部