就像人們通常的作為那樣，發現一件事情存在問題之後，第一步的工作就是進行修正，對于歐幾裡得幾何也是這樣，數學家最初的工作是改寫平行公設。為了進一步讨論方便，我們重新回顧一下《原理》的第五公設：

5. 同平面内一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側的兩個内角的和小于兩個直角，則這兩條直線經過無限延長後在這一側相交。

這個公設的直接推論是：平行線的同旁内角之和為180度。雅典柏拉圖學院的後期導師普羅克洛斯對整理和重新出版《原理》作出了重大貢獻，資料表明，對平行公設提出質疑也是從他開始的。他希望通過一個平行線的定義來代替平行公設：

對于給定直線，稱到這條直線距離保持一定的點的軌迹為這條直線的平行線。

這種定義的方法是可行的，但是普羅克洛斯的定義帶來了一個更大的困難，如何能保證與直線距離保持一定的那些點的軌迹是一條直線呢？回憶歐幾裡得關于直線的定義：點同樣地平放着的線，可能普羅克洛斯認為“距離保持一定”與“同樣地平放着”是等價的，可是這個定義過分地借助了幾何直觀，在一般地意義上是不好理解地。

但是我們也應當看到，定義比公設具有更多地靈活性，因為公設多多少少要承擔起放之四海而皆準的責任，而定義則限定了一個研究的範圍，我們不需要顧及定義以外的情況。如果一定要給平行線下一個定義的話，如圖（1）所示，我們可以嘗試地給出下面的定義：

圖（1）

在給定直線α上任取兩點A和B，過這兩點分别在直線上方作直線的垂線，取相同長度的點C和D，令過CD的直線為β，并稱β是α的平行線。

由《幾何作圖及相關的數學發展---線段的四則運算和根式運算》中的讨論我們知道，上述定義中的幾何作圖是可能的。但這樣定義又給我們帶來了一個新的難題：如果在直線α上再取一個點A’，并用同樣方法得到點C’，那麼，是否能保證點C’也在直線β上呢？可以看到，如果要用定義的方法來解決平行公設，則需要我們在給出定義之前作更多的準備，我們将在後續《圖形的量化》中詳細地讨論這個問題。

由于定義不成功，人們開始思考，用一個新的命題來代替表述模糊的平行公設。其中，英國地質學家，數學家普萊費爾（1748-1819）給出了最為經典的平行公理：

過已知直線外一點，能且僅能作一條直線與已知直線平行。

這個公理蘊含着這兩條直線永遠不相交，在無窮遠處也不相交。我們已經說過，這大概是歐幾裡得最不想涉及的，但是，這個公理可以保障圖（1）中關于平行線的定義的合理性，因為如果C’不在直線β上，我們可以過兩點C’和D再作一條直線γ，按照定義γ也是直線α的平行線，這就與公理矛盾了，因為α的這兩條平行線都過點D。

為了教學的需要，現在我國中小學數學教材中把問題表述得更為繁雜。首先給出一個類似歐幾裡得給出的，不顧及存在性的平行線的定義：

稱兩條永遠不相交的直線為平行線 （1）

這個定義對于孩子或許是直觀的，但是這個定義是禁不起推敲的，我們應當清楚，要判斷一條線是否永遠是直的是非常困難的，是需要參照物的，這樣的判斷在無窮遠處幾乎是不可能的，何況現在又是兩條直線，又要保證不相交。

然後，在普萊費爾的公設的基礎上又給出一個類似定義的平行線的判定準則：

兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，則兩條直線平行。

最後利用反證法，借助上述公理和判定準則可以證明平行線的性質：

兩條直線平行則同位角相等。

這樣，我們中學的數學用四個命題完成了對平行線的描述。我想，這樣的描述遠不如圖（1）的定義簡單明了。特别是，上述判定準則在論證體系中的功能是令人費解的，但是這個判定準則與性質卻可以構成一個定理：

兩條直線平行的充分必要條件是同位角相等。

既然這個命題是充分必要的，那麼也可以作為定義。可是，又如何證明這個定義與（1）式所示最初的定義式等價的呢？如果要證明的話，則需要借助歐幾裡得最初的第五公設，即平行公設。問題繞了一圈，又回到了原點。看來，這種改寫的方法不可能對平行線的問題得到更不性的改善。

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