本文為“第三屆數學文化征文比賽

HPM視角下的數學概念教學

——“平面直角坐标系”教學設計

作者：王秀閣

作品編号：013

關鍵詞：平面直角坐标系；問題解決；數學文化

一、内容和内容解析

1.内容

平面直角坐标系

2.内容解析

本節課選自人教版《義務教育教科書·數學》七年級下冊第七章第一節7.1平面直角坐标系。

學生學習了數軸，明确了實數與數軸上的點是一一對應的，即每一個實數都可以用數軸上的點來表示；反過來，數軸上的每一個點都表示一個實數。平面直角坐标系使點與坐标的對應關系順利實現了從一維到二維的過渡，平面直角坐标系是學習函數及其圖象、曲線和方程的基礎，是溝通數與形的橋梁，使得我們可以用幾何方法研究代數問題，又可以用代數方法研究幾何，為解決數學問題提供了強有力的工具，開啟解析幾何學習的新篇章。

本節課從笛卡爾發現坐标系的漫畫故事引入，在複習數軸上的點和實數一一對應的基礎上，提出借助一個數軸（單軸）表示一對數，再嘗試畫出

，

，

……等點，經曆了一百年左右的時間，數學家沃裡斯提出畫出豎直方向的軸，從一維數軸過渡到二維坐标系，進而得出平面直角坐标系、坐标平面、象限等相關概念，體會用兩個距離刻畫點與坐标原點的相對位置，進一步體會平面上的點與有序數對建立一一對應關系，再嘗試從幾何的角度對一一對應進行解釋，體現數形結合思想。

數學文化介紹古今中外數學家在這個領域做出的貢獻，揭示數形結合思想的曆史源流與傳承。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）從一維數軸到二維平面直角坐标系，理解建立平面直角坐标系的必要性；

（2）理解平面直角坐标系的相關概念；

（3）掌握平面内的點與坐标的一一對應關系。

2.目标解析

達成目标（1）的标志是：學生能基于單軸用一個點表示一個有序數對，到基于雙軸用一個點表示一個有序數對。

達成目标（2）的标志是：學生理解兩條數軸一般具備的特征：原點重合；互相垂直；向右為正方向，向上為正方向。理解坐标平面，在坐标平面内理解橫軸（x軸）、縱軸（y軸）、原點、象限、坐标等相關概念。

達成目标（3）的标志是：學生在理解建立平面直角坐标系的必要性的基礎上，體會平面内的點和有序數對的“一一對應”：給一個坐标，就有唯一确定的點與之對應；反之，給一個點，就有唯一确定的坐标與之對應。在給定的平面直角坐标系中，學生能由點的位置寫出坐标，給出坐标确定點的位置。

三、教學問題診斷分析

平面内的點的坐标是根據數軸上點的坐标來定義的，學生已經理解了數軸上的點與坐标的一一對應關系，對從一維空間過渡到二維空間的認識還存在着認識上的不足，要讓學生真正理解建立平面直角坐标系的必要性，體會其中蘊含的點與坐标的一一對應關系比較困難，需要較強的抽象思維能力。另外章起始課建構全章的研究脈絡，也是比較重要的，需要學生主動思考，進行有意義建構。

因此，本節課的教學難點是：理解建立平面直角坐标系的必要性，體會平面直角坐标系中點與坐标的一一對應，建構本章的研究脈絡。

四、教學過程設計

（一）提出問題：解析幾何的建立，是西方數學的轉折點。

平面直角坐标系的創建者：笛卡爾（1596-1650）與費馬（1601-1665）“普遍數學”的思想：

将所有問題轉化為數學問題，又将一切數學問題轉化為代數問題，再将代數問題轉化為方程問題來解決。數學中的幾何問題能否與代數問題進行互相轉化呢？

由學生結合笛卡爾的漫畫，介紹笛卡爾。激發學習興趣。

【設計意圖】教師介紹笛卡爾“普遍數學”的思想，引導學生思考：幾何對象和代數對象能否互相轉化。

（二）分析問題：

平面直角坐标系的前世

1.實數都可以在數軸上表示出來。

2.嘗試将 用一個點表示出來。

笛卡爾用如下的方式用一個點表示出了，你能理解其合理性嗎？

如何表示 ，，，

，

，……

你能發現這些數組滿足的關系式嗎？

滿足（二元一次方程），笛卡爾就是用這種方式将一個一元二次方程用圖形表示出來的。特殊的，離開原來的數軸上的相應的點上下平移相應的單位長度，就得到表示相應數組的點。

這時，笛卡爾雖然建立了坐标系，但是是單軸，利用單軸可以表示負的坐标。

反過來，給定一個點P，能否用兩個實數表示出來呢？

過P作x軸的垂線段，垂足在x軸上的數為3，P與垂足間的距離是3，且在x軸的下方，所以點P可以表示一對數

.

在這裡，作了一條垂線段，就能獲取y的對應值了。

這時，其實可以試試再作一條豎着的數軸。

平面直角坐标系的今生：數學家沃利斯引進了過原點的豎着的軸，即用兩條互相垂直的數軸于公共原點處建立平面直角坐标系，這樣就可以用數刻畫相對于公共原點（O）的位置了。

由于數對的正負組合有四種情況，而兩條相交直線将平面分成四個區域，可使平面内點的分布情況與“數對”的符号組合情況相互聯系，兩條數軸成為分界線。

【設計意圖】通過平面直角坐标系的前世今生的介紹，還原數學家發現平面直角坐标系的過程，由于收到學生知識的限制，不能完全像數學家一樣探究，在基于單軸用一個點表示一個有序數對時，先給出一個示範，觀察交流其合理性，再放手讓學生基于單軸表示有關系的幾組有序數對，進一步歸納代數特征，進而體會将二元一次方程實現幾何表示，初步體會幾何對象和代數對象可以互相轉化。

（三）講解新知

一般地，在平面内取一點，過點畫兩條互相垂直的數軸，且它們以點為公共原點，在平面内建立了一個直角坐标系。對于水平放置的數軸，它的正方向向右，稱為橫軸，記作軸；對于垂直放置的數軸，向上為正方向，稱為縱軸，記作軸。平面直角坐标系中，為坐标原點，簡稱原點,軸，軸統稱為坐标軸，直角坐标系所在的平面稱為直角坐标平面，簡稱為坐标平面。

坐标平面被兩條坐标軸分成了4部分，每部分稱為象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

坐标軸上的點不屬于任何象限。

有了平面直角坐标系，平面内的點就可以用一個有序數對來表示了。

如圖，在平面直角坐标系中，點B，C，D的坐标分别是什麼？

B（-2，3），C（4，-3），D（-1，-4）．

對于平面内的任意一點P，過點P 作x軸的垂線段，垂足為M，可得點M在x軸上所對應的實數a；再過點P 作y軸的垂線段，垂足為N，可得點N在y軸上所對應的實數b.那麼有序實數對（a,b）表示點P 的位置，記作P(a,b).

已知有序數對（a,b）,在x軸上找到表示a的點M，過M作x軸的垂線，在y軸上找到表示b的點N，過N作y軸的垂線，兩條垂線交于點P。

用所學的幾何知識解釋平面内的點與有序數對是一一對應的。

點唯一，垂線唯一，交點唯一。

借助平面直角坐标系，可以确定圖形的位置，研究兩點間的線段的長度，兩條直線的垂直及平行關系，兩條線段的大小關系，用坐标表示平移，……。

【設計意圖】通過閱讀定義，找出關鍵詞，明确平面直角坐标系的相關概念，在明确定義的基礎上，通過用坐标表示點，已知點寫出坐标，并用學過的幾何原理解釋點與坐标的一一對應關系，初步感知借助平面直角坐标系，可以解決的相關問題，揭示本章的研究脈絡。

（四）應用提升

數學家傳遞手稿活動：笛卡爾位于圖中原點O的位置，他的好朋友費馬與其他朋友分别位于圖中A,B,C,D,E,F的位置。現在笛卡爾有一些重要手稿，需要助手轉交給費馬與其他朋友。請問笛卡爾應該怎麼向助手描述這些朋友的位置呢？

【設計意圖】根據題意，合理建立直角坐标系，再寫出這些點的坐标，鞏固所學新知。

（五）數學文化

用坐标系确定點的位置起源于古代，戰國時代的石申制成的世界上最早的星表《石氏星經》，用坐标思想方法記錄了一百多顆恒星的位置。14世紀，已有經緯度的萌芽，笛卡爾從古代的天文和地理的經緯線制中得到啟發，于1637年出版的《方法論》中，闡述了平面坐标方法和變量思想。

坐标系有許多種。按空間維數分，有平面坐标系和空間坐标系。

在平面坐标系中，有平面直角坐标系、平面斜角坐标系、仿射坐标系、極坐标系等。

吳文俊先生在中國傳統數學史研究的基礎上，繼承并發展了中國古代以“問題解決”為主旨的算法體系，創立了數學機械化方法。幾何問題的代數化是幾何問題的機械化的第一步，為此需要引進數系，構建坐标系，把幾何問題轉化為代數問題進行描述。

【設計意圖】通過介紹數學文化，了解中外不同數學家對平面直角坐标系發展的貢獻，揭示數形結合思想的曆史源流與傳承，體現數學的理性精神和人文情懷，感受跨時空的數學文化交融。

（六）課堂小結

1.本節課的核心内容：平面直角坐标系，從一維數軸過渡到二維平面直角坐标系構建的必要性。

2.平面直角坐标系将平面上的點和有序實數對之間，建立了一一對應關系。

3.數學文化方面：

【設計意圖】通過小結，幫助學生梳理本節課所學内容，理解平面直角坐标系中點與坐标的一一對應關系，感受數形結合思想。

（七）布置作業

1.閱讀課本P65 -68 7.1.2平面直角坐标系完成練習1.2

2.習題7.1的1-6題。

五、課堂目标檢測

1.在平面直角坐标系中描出下列各點：

A（4，5），B（-2，3），C（-4，-1）， D（3，0），K（0，-4）．

2.在平面直角坐标系中寫出圖中點A，B，C，D，E的坐标.

【設計意圖】主要考查學生對平面直角坐标系中點的坐标表示的掌握情況。

六、教學反思

平面直角坐标系是以數軸為基礎的，它是由兩條互相垂直，原點重合的數軸構成的，“平面直角坐标系”的建立使有序數對與平面内的點産生了一一對應，提供了用代數方法來研究幾何問題的重要數學工具．作為章起始課的主要功能是幫助學生了解本章學習内容、地位和作用，本節課關注知識體系的建構，初步感知本章的研究脈絡，讓學生對學習進程心中有數，喚醒并激發學生學習的興趣和熱情，有助于發展學生的核心素養，章起始課教學要起到“轉軸撥弦兩三聲，未成曲調先有情”的效果。

參考文獻

1.義務教育教科書教師教學用書 數學七年級下冊，人民教育出版社，2012年10月第1版

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