比較數的大小是高考數學常考的題型之一。2022年全國新高考I卷比較數的大小的問題，着實坑了考生一把。相比較而言，下面這道2022年全國理科甲卷的選擇壓軸題，也是比較數的大小的題型，就簡單得多了。

已知a=31/32, b=cos(1/4), c=4sin(1/4), 則

A. c>b>a； B. b>a>c； C. a>b>c； D. a>c>b

老黃說，我有計算器，随便一按，a=31/32=0.96875, b=cos(1/4)≈0.96891, c=4sin(1/4)≈0.989616. 一目了解c>b>a，應該選A. 然後就有人開始跟老黃對杠，說，你這個(罵人的話省略)，高考能帶計算器嗎？然後老黃就回擊，(老黃一般不罵人的)你根本看不明白我在說什麼。

你說，學數學要是成了這個樣子，那還有什麼意思啦！這數學能學好那才奇了怪了呢。

分析：這道題主要運用到正數與其正弦、正切的不等式關系，即當0<x<π/2時，sinx<x<tanx. 假如記得這個不等式的人有五成的話，那麼知道是怎麼回事的人可能就不足一成了。能夠自己動手證明的人更是鳳毛麟角，而能夠提出與教材不同的證明方法的人，可能就屈指可數了。你說，要是把上面擡杠的心思，都用到這裡來，那該多好啊！

老黃的意思是，不要隻會運用，必須要理解，而且自己證明一下，最好有自己不同的證明方法。因為這道考題下回你是不可能在高考中碰到的了。但是，這個不等式，你卻大概率還是會用到的。

回到題目本身。比較a和b的大小，隻須将b轉化成b=cos(1/4)=1-2(sin(1/8))^2，根據sin(1/8)<1/8，就有b<1-1/32=31/32=a. 因此就可以排除C、D.

而比較c和b的大小就更簡單了，隻要求它們的商c/b=4tan(1/4)，根據tan(1/4)>1/4. 就有c/b>1，而它們都是正數，所以c>b>a，選A.

教材證明sinx<=x<=tanx，(0<=x<π/2)，是在單位 圓内進行的。在老黃的“老黃學高數”系列視頻中也有介紹。也可能通過求它們的差(與0比較)或比(與1比較)來證明。這些在老黃以往的作品中都有過介紹，這裡就不再贅述了。事實上，隻要作出它們的圖像，就能一目了然。

有沒有一種類似于“拿計算器一算就能得到結果”的感覺？那還是一種杠精的思想，這當然不同了，因為畫函數圖像，也是一種數學能力哦。而且，由圖像我們可以發現更多東西。

不難發現，直線y=x，在原點同時切sinx和tanx。關鍵是，sinx左凹下凸，由函數的凹凸性質，就可以推出sinx在0<x<π時，小于x。加上sinx的周期性以及y=x的單調增性，就可以推廣到x>0時，sinx<x了。類似地，也可以證明tanx>x。有一點不同的是，tanx的周期性，反而使得，這個不等式隻在(0,π/2)才恒成立.

所以，并不是方法不對，而是要看你善不善于去發現。

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