悖論一.價值悖論

作為生活必需品的水價值很低，奢侈品如鑽石的價值卻很高，但為什麼水的價值比鑽石低？

價值悖論(也被叫做鑽石與水悖論)就是一類典型的自相矛盾的例子，盡管在維持生存的價值上水要高出鑽石，但是市場價水卻不如鑽石。我們來試着解釋一下這個悖論，當消費量較小時，兩者相比水的邊際效用要大于鑽石，因此兩者都缺少的時候，水的價值就更高。事實上，現在我們對水的消費量往往都比較大，鑽石的消費量卻遠沒有那麼大。我們可以天天喝水喝到吐，卻不能天天買鑽石。所以，大量水的邊際效用小于少量鑽石的邊際效用。

按照邊際效用學派的解釋，比較鑽石和水的價值并不是比較兩者的總價值，而是比較每份單位的價值。盡管水的總體價值對于人類來說再大也不為過，畢竟水是生存必需品，但是，考慮到全球的水資源足夠充沛，水的邊際效用也就處在相對較低水平。另一方面，急需用水的領域一旦被滿足，水就被用作不那麼緊急的用途，邊際效用因此遞減。

所以，水的總量增加，水的總體價值就減少。鑽石的情況就不同了，不管地球上到底有多少鑽石，市場上的鑽石始終是少量，一顆鑽石的用途比一杯水大得多得多得多。所以鑽石對于人更有價值。鑽石的價格遠高于水，消費者願意，商人也樂意，一個願打一個願挨。

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悖論二.祖父悖論

如果你乘坐時光機回到你祖父祖母相遇之前并殺死你的祖父會發生什麼？

關于時間旅行最有名的悖論是科幻小說作家赫内·巴赫劄維勒1943年的小說《不小心的旅行者》(《Future Times Three》)中提出的。悖論内容如下：時間旅行者回到自己的祖父祖母結婚之前的時空，時間旅行者在該時空殺死了自己的祖父，也就是說，時間旅行者自身從未降生過；但是，如果時間旅行者從未降生，也就不能穿越時空回到以前殺死自己的祖父，如此往複。

我們假設時間旅行者的過去和現在存在因果聯系，那麼擾亂這種因果關系的祖父悖論看上去似乎是不可能實現的。(也就杜絕了人可以任意操縱命運的可能)但是，有許多假說繞開了這種悖論，比如有人說過去無法改變，祖父一定已經在孫子的謀殺中幸存下來(如前所說)；還有種可能是時間旅行者開啟/進入了另一條時間線或者平行宇宙什麼的，而在這個世界，時間旅行者從未誕生過。

祖父悖論的另一個版本是希特勒悖論，或者說是謀殺希特勒悖論，這個想法被許多科幻小說運用，主人公回到了二戰前，殺死了希特勒，成功組織了二戰的爆發。矛盾之處在于，如果沒有發生二戰，為什麼我們要回到二戰前刺殺希特勒，時間旅行本身就消除了旅行的目的，所以時間旅行本身就在質疑自身存在的理由。

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悖論三.忒修斯之船悖論

一艘船的所有零件都換成新的後，還是同一條船麼？

忒修斯之船悖論提出了一個問題，當一個整體的所有組成部分都被替換，那麼這個整體還是原來的整體麼？

古人沒有讨論出答案，今人Thomas Hobbes和John Locke也在嘗試對這個問題進行解答。有些人說：“船還是原來的船。”但是也有人說：“船已不是當初的船。”

基于這個理論，人體的細胞每過七年就會更新一次，也就是說，每過七年，你在鏡子裡看到的自己都不是七年前的自己。

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悖論四.伽利略悖論

不是所有的數都是平方數，所有數的集合不會超過平方數的集合。

伽利略悖論讓人見識了無限集合的驚人特性。在他最後的科學著作《兩種新科學》裡，伽利略寫出了這個關于正整數的矛盾陳述。

首先，部分數屬于平方數，其它則不是；因此，所有數，包含平方數和非平方數的集合必定大于單獨的平方數。然而，對于每個平方數有且隻有一個對應的正數平方根，切對于每個數都必定有一個确定的平方數；所以，數和平方數不可能某一方更多。這個悖論雖然不是最早但也是早在無限集合中運用一一對應的例子。伽利略在書中總結說，少、相等和多隻能描述有限集合，卻不能描述無限集合。

19世紀德國數學家格奧爾格·康托爾，也是數集理論的開創者，使用了相同的手法否定了伽利略的這條限制條件的必要性。康托爾認為在無限數集中進行有意義的比較是可行的(康托爾認為數和平方數這兩個集合的大小是相等的)，在這種定義下，某些無限集合肯定是比另一些無限集合大。伽利略對後繼者在無窮數上的突破的預測驚人的準确，伽利略在書中寫到，一條線段内所有點的數目和比此更長的線段上點的數目相等，但是伽利略沒有想出康托爾的證明法，即線段上所有點的數比整數大。

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悖論五節約悖論

假設經濟衰退，全社會所有人都選擇把錢存進銀行，社會總需求因此下降，社會總資産反而更少。

節約悖論是指在經濟蕭條時期所有人都把錢存進銀行，社會總需求會下降，反過來全社會的消費水平下降、經濟增速減緩，全社會的資産總數也就下滑。悖論認為個人資産增值的同時，全社會資産反而減少，或者再放開了說，儲蓄額的增加在荼毒經濟，因為傳統認為個人儲蓄有益社會，但是節約悖論認為大規模的儲蓄會對經濟造成傷害。如果所有人都把錢存進銀行，賬面上個人的資産會增值，但是全社會總體的宏觀經濟趨勢會下降。

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悖論六匹諾曹悖論

如果匹諾曹說：“我的鼻子馬上會變長。”結果會怎樣?

當匹諾曹說：“我的鼻子馬上會變長。”，匹諾曹悖論屬于謊言悖論的一種。

謊言悖論是一種哲學和邏輯悖論，就像“這句話是假的。”認為這句話是真的或是假的都會導緻矛盾或者悖論的形成。因為如果這句話是真的,按照字面意思這句話就是假的；如果這句話是假的，按照字面意思，也就是說這句話其實是真的。

匹諾曹悖論不同于傳統謊言悖論的地方在于，悖論本身沒有做出語義上的預測，例如“我的句子是假的。”

匹諾曹悖論和匹諾曹本身沒有關系，如果匹諾曹說“我生病了”，這句話是可以判定真僞的，但是匹諾曹說的是“我的鼻子馬上會變長”，就無法判定真僞，我們無法得知匹諾曹的鼻子到底會不會變長。

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悖論七理發師悖論

小城裡的理發師放出豪言：“我隻幫城裡所有不自己刮臉的人刮臉”。那誰來給他刮臉？

假設你路過一家理發店，标語上寫着：“你給自己刮臉麼？如果不是，請允許小店幫您刮臉！我隻幫城裡有所不自己刮臉的人刮臉，其他人一概不刮。”這個簡單的介紹足夠讓你走進這家理發店了，但是接下來你發現了問題——理發師給自己刮臉麼？如果他給自己刮臉，那麼他就違反了隻幫不自己刮臉的人刮臉的承諾，如果他不給自己刮臉，那麼他必須給自己刮臉，因為他的承諾說他隻幫不自己刮臉的人刮臉。兩種假設都導緻這句話說不通。

理發師悖論由英國數學家、哲學家、社會的先知、言論自由最勇敢的鬥士勃蘭特·羅素教授于20世紀初提出。悖論的發表帶來的巨大難題改變了整個20世紀數學界的研究方向。

理發師悖論中，條件規定“幫自己刮臉”，但隻幫自己刮臉的男人的集合無法建立，即使這個條件非常簡單，但是無法确定理發師應不應該在這個集合内。所以兩種條件都會導緻矛盾。

所有對理發師悖論的解答都将目光限定在可能的集合類型上。羅素自己提出了一套“類型理論”，這套理論将語句分為不同級别：最低級别是關于個體的語句，第二層級别是關于個體集合的語句，以此類推。這種理論避免了包含所有集合但不包含自身的全集，因為兩種語句屬于不同類型——即不同級别。

羅素悖論的解答方案中最受歡迎的應該是策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論。這種公理化集合論限制了對簡單集合論的随意假設，因為如果給出一個限定條件，你總是能指定出恰好符合條件的集合。但是在策梅洛-弗蘭克爾公理化集合論中，你隻能從給定個體入手，從中挑選内容形成集合。也就是說，不用先假定有一個包含所有集合的全集，也避免了将包含所有集合從包含了自身的集合中剔除出來(實際上并不包含)。你用不着構思步驟、建立個别、再将這個分支集合劃入任何給定集合。

理發師悖論的一種解決思路：換成女理發師。

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悖論八生日問題

這麼幾個人裡就有兩個人同天生日，怎麼可能？

生日問題提出了一種可能性：随機挑選一組人，其中會有兩人同天生日。用抽屜原理來計算，隻要人群樣本達到367，存在兩人同天生日的可能性就能達到100%(一年雖然隻有365天，但是有366個生日，包括2月29日)。然而，如果隻是達到99%的概率，隻需要57個人；達到50%隻需要23個人。這種結論的前提是一年中每天(除去2月29日)生日的概率相等。

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悖論九雞與蛋悖論

到底是先有雞還是先有蛋？

雞還是蛋這個兩難的因果難題可以簡述為“先有雞還是先有蛋？”雞與蛋悖論也啟發了古代哲人對先有生命還是先有宇宙這一系列問題的思考。

傳統的文化認為雞蛋悖論是一種循環因果悖論，要找出某個最初成因毫無意義。人們認為解決雞蛋悖論的方法恰恰是這個問題最本質的核心所在。一方認為卵生動物在雞出現前很久就已經存在了，所以是先有蛋；另一方則認為先有雞，他們認為現在人們所說的雞不過是馴養的紅原雞的後代。然而，含糊的觀點也造成了這個難題含糊的背景。要更好理解這個問題的隐喻含義，我們可以将問題理解成“X得到了Y，Y得到了X，那麼是先有X還是先有Y？”地球形成數億年後，雞這個物種出現了，雞又生下了蛋。如果是蛋先出現，那麼是什麼來坐在上面孵它呢，又是什麼來喂養幼年的小雞呢？

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悖論十失蹤的正方形

為什麼正方形會無故消失？

失蹤的正方形謎題是一種用于數學課的視錯覺，有助于學生對幾何圖形的思考。兩張圖都用到了一些相似的形狀，隻不過位置稍有不同。

解開謎題的關鍵在于圖中的“三角形”并非三角形，所有三角形的一條斜邊都是彎曲的。這些三角形的斜邊看上去似乎是條直線，但實際并不是。所以第一個圖形實際上占了32個格子。第二個圖形占了33個格子，包括“失蹤”的正方形在内。注意在藍色紅色斜邊交界處的網格點，如果将它與另一張圖的對應交界點比較，邊緣稍稍溢出或者低于格點。來自兩張圖重疊後溢出的斜邊導緻一個非常細微的平行四邊形，占據了剛好一格大小的面積，恰洽是第二張圖“消失”的區域。

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