初中數學二次函數知識點彙總?二次函數的圖象與性質，下面我們就來聊聊關于初中數學二次函數知識點彙總?接下來我們就一起去了解一下吧!

初中數學二次函數知識點彙總

二次函數的圖象與性質

易錯清單

1. 二次函數的圖象與系數a,b,c的符号的确定.

【例1】　二次函數y=ax2 bx c(a≠0)的部分圖象如圖,圖象過點(-1,0),對稱軸為直線x=2,下列結論:

① 4a b=0;② 9a c>3b;③ 8a 7b 2c>0;④ 當x>-1時,y的值随x值的增大而增大.

其中正确的結論有(　　).

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 4個

【解析】　根據抛物線的對稱軸為直線x=2,則有4a b=0;觀察函數圖象得到當x=-3時,函數值小于0,則9a-3b c<0,即9a c<3b;由于x=-1時,y=0,則a-b c=0,易得c=-5a,所以8a 7b 2c=8a-28a-10a=-30a.再根據抛物線開口向下得a<0,于是有8a 7b 2c>0;由于對稱軸為直線x=2,根據二次函數的性質得到當x>2時,y随x的增大而減小.

【答案】　∵　抛物線的對稱軸為直線x=2,

∴　b=-4a,即4a b=0,所以①正确.

∵　當x=-3時,y<0,

∴　9a-3b c<0,即9a c<3b.所以②錯誤.

∵　抛物線與x軸的一個交點為(-1,0),

∴　a-b c=0.

而b=-4a,∴　a 4a c=0,即c=-5a.

∴　8a 7b 2c=8a-28a-10a=-30a.

∵　抛物線開口向下,

∴　a<0.

∴　8a 7b 2c>0.所以③正确.

∵　對稱軸為直線x=2,

∴　當-1<x<2時,y的值随x值的增大而增大,當x>2時,y随x的增大而減小.所以④錯誤.故選B.

【誤區糾錯】　本題考查了二次函數圖象與系數的關系:二次函數y=ax2 bx c(a≠0),二次項系數a決定抛物線的開口方向和大小,當a>0時,抛物線向上開口;當a<0時,抛物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置,當a與b同号時(即ab>0),對稱軸在y軸左; 當a與b異号時(即ab<0),對稱軸在y軸右;常數項c決定抛物線與y軸交點. 抛物線與y軸交于(0,c);抛物線與x軸交點個數由Δ決定,Δ=b2-4ac>0時,抛物線與x軸有2個交點;Δ=b2-4ac=0時,抛物線與x軸有1個交點;Δ=b2-4ac<0時,抛物線與x軸沒有交點.

2. 二次函數和最值問題

【例2】　當-2≤x≤1時,二次函數y=-(x-m)2 m2 1有最大值4,則實數m的值為(　　).

【解析】　二次函數的最值得分類讨論問題,根據對稱軸的位置,分三種情況讨論求解即可.

【答案】　二次函數的對稱軸為直線x=m,

①m<-2時,x=-2時二次函數有最大值,

此時-(-2-m)2 m2 1=4,解得m=-,與m<-2矛盾,故m值不存在.

②當-2≤m≤1時,x=m時,二次函數有最大值,

此時,m2 1=4,

【誤區糾錯】　本題易錯點在于不知分類讨論導緻漏解.

考點點撥

1. 掌握二次函數的定義,能利用定義判斷二次函數.

2. 能利用頂點式、交點式、三點式确定二次函數的解析式.

3. 會利用描點法畫二次函數的圖象并能說明其性質.

4. 能利用二次函數解析式中系數确定函數的對稱軸、頂點坐标、開口方向與坐标軸的交點坐标等.

提分策略

1. 二次函數的圖象與性質的應用.

(1)求二次函數的圖象的頂點坐标有兩種方法:①配方法;②頂點公式法,頂點坐标為.

(2)畫抛物線y=ax2 bx c的草圖,要确定五個方面,即①開口方向;②對稱軸;③頂點;④與y軸交點;⑤與x軸交點.

【例1】　(1)用配方法把二次函數y=x2-4x 3變成y=(x-h)2 k的形式;

(2)在直角坐标系中畫出y=x2-4x 3的圖象;

(3)若A(x1,y1),B(x2,y2)是函數y=x2-4x 3圖象上的兩點,且x1< x2<1,請比較y1、y2的大小關系(直接寫結果);

(4)把方程x2-4x 3=2的根在函數y=x2-4x 3的圖象上表示出來.

【解析】　(1)根據配方法的步驟進行計算.

(2)由(1)得出抛物線的對稱軸,頂點坐标列表,注意抛物線與x軸、y軸的交點及對稱點等特殊點的坐标,不要弄錯.

(3)開口向上,在抛物線的左邊,y随x的增大而減小.

(4)抛物線y=x2-4x 3與直線y=2的交點的橫坐标即為方程x2-4x 3=2的兩根.

【答案】　(1)y=x2-4x 3=(x2-4x 4) 3-4=(x-2)2-1.

(2)由(1)知圖象的對稱軸為直線x=2,頂點坐标為(2,-1),列表如下:

x

…

0

1

2

3

4

…

y

…

3

0

-1

0

3

…

　　描點作圖如圖.

(3)y1>y2.

(4)如圖,點C,D的橫坐标x3,x4即為方程x2-4x 3=2的根.

2. 二次函數的解析式的求法.

二次函數的關系式有三種:

(1)一般式y=ax2 bx c;

(2)頂點式y=a(x-m)2 n,其中(m,n)為頂點坐标;

(3)交點式y=a(x-x1)(x-x2),其中(x1,0),(x2,0)為抛物線與x軸的交點.一般已知三點坐标用一般式求關系式;已知頂點及另一個點坐标用頂點式;已知抛物線與x軸的兩個交點坐标及另一個點的坐标用交點式.

【例2】　已知抛物線經過點A(-5,0),B(1,0),且頂點的縱坐标為,求二次函數的解析式.

【解析】　根據題目要求,本題可選用多種方法求關系式.

3. 二次函數的圖象特征與系數的關系的應用.

二次函數y=ax2 bx c=0(a≠0)系數的符号與抛物線二次函數y=ax2 bx c=0(a≠0)的圖象有着密切的關系,我們可以根據a,b,c的符号判斷抛物線的位置,也可以根據抛物線的位置确定a,b,c的符号.抛物線的位置由頂點坐标、開口方向、對稱軸的位置确定,頂點所在象限由的符号确定.

【例3】　已知二次函數y=ax2 bx c(a≠0)的圖象如圖,且關于x的一元二次方程ax2 bx c-m=0沒有實數根,有下列結論:

①b2-4ac>0;②abc<0;③m>2.

其中,正确結論的個數是(　　).

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

【解析】　由圖象可知二次函數y=ax2 bx c與x軸有兩個交點,進而判斷①;

先根據抛物線的開口向下可知a<0,由抛物線與y軸的交點判斷c與0的關系,根據對稱軸在y軸右側得出b與0的關系,然後根據有理數乘法法則判斷②;

一元二次方程ax2 bx c-m=0沒有實數根,則可轉化為ax2 bx c=m,即可以理解為y=ax2 bx c和y=m沒有交點,即可求出m的取值範圍,判斷③即可.

【答案】　①∵　二次函數y=ax2 bx c與x軸有兩個交點,

∴　b2-4ac>0,故①正确.

②∵　抛物線的開口向下,

∴　a<0.

∵　抛物線與y軸交于正半軸,

∴　c>0.

∵　對稱軸,

∴　ab<0.

∵　a<0,

∴　b>0.

∴　abc<0,故②正确.

③∵　一元二次方程ax2 bx c-m=0沒有實數根,

∴　y=ax2 bx c和y=m沒有交點.

由圖可得,m>2,故③正确.

故選D.

　　4. 二次函數的圖象的平移規律的應用.

(1)采用由“點”帶“形”的方法.圖形在平移時,圖形上的每一個點都按照相同的方向移動相同的距離,抛物線的平移問題往往可轉化為頂點的平移問題來解決.

(2)平移的變化規律可為:

①上、下平移:當抛物線y=a(x-h)2 k向上平移m(m>0)個單位後,所得的抛物線的關系式為y=a(x-h)2 k m;當抛物線y=a(x-h)2 k向下平移m(m>0)個單位後,所得的抛物線的關系式為y=a(x-h)2 k-m.

②左、右平移:當抛物線y=a(x-h)2 k向左平移n(n>0)個單位後

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