例1、設數列 { an } 的前 n 項和為 Sn .已知 a1 = 1 ,

例題1圖（1）

（1）求 a2 的值 ；

（2）求數列 { an } 的通項公式；

（3）證明: 對一切正整數 n ,有

例題1圖（2）

解：

（1）依題意， 2S1 = a2 - 1/3 - 1 - 2/3 , 又 S1 = a1 = 1 , 所以 a2 = 4 ；

（2）當 n ≥ 2 時，有

例題1圖（3）

兩式相減得

例題1圖（4）

整理得

例題1圖（5）

故數列 { an/n } 是首項為 a1/1 ,公差為 1 的等差數列,

所以

例題1圖（6）

（3）當 n = 1 時 ，1/a1 = 1 < 7/4 ; 當 n = 2 時 ，1/a1 1/a2 = 1 1/4 = 5/4 < 7/4 ;

當 n = 3 時

例題1圖（7）

例題1圖（8）

綜上,對一切正整數 n ,有

例題1圖（9）

放縮技巧：

所謂放縮的技巧：即欲證 A ≤ B ，欲尋找一個（或多個）中間變量 C ，使 A ≤ C ≤ B ，

由 A 到 C 叫做 “放”，由 B 到 A 叫做 “縮” 。

常用的放縮技巧

常用的放縮技巧圖（1）

常用的放縮技巧圖（2）

放縮方法歸納：

① 先求和後放縮

例題2、正數數列 {an} 的前 n 項的和為 Sn ，且滿足關系式 2✔Sn = an 1 ，試求：

（1）數列 {an} 的通項公式；

（2）設 bn = 1/（an·an 1）, 數列 { bn } 的前 n 項和為 Bn , 求證 ： Bn < 1/2 。

解：

（1）由已知得 4Sn = （ an 1）^2 , n ≥ 2 時，

例題2圖（1）

作差得：

例題2圖（2）

所以：

例題2圖（3）

又因為 {an} 是正數數列，所以 an - an-1 = 2 , 即 {an} 是以公差為 2 的等差數列 ，

由 2✔S1 = a1 1 ， 得 a1 = 1 , 所以 an = 2n - 1 。

（2）

例題2圖（4）

所以：

例題2圖（5）

注：一般先分析數列的通項公式。

如果此數列的前 n 項和能直接求和或者通過變形後求和，則采用先求和再放縮的方法來證明不等式。

② 先放縮再求和

例題3、已知各項均為正數的數列 {an} 的前 n 項和為 Sn , 且滿足關系式 (an)^2 an = 2Sn 。

（1）求證：

例題3圖（1）

（2）求證：

例題3圖（2）

解：

（1）令 n = 1 , 則有 (a1)^2 a1 = 2S1 = 2a1 , 因為 a1 > 0 , 所以 a1 = 1 。

又因為 (an)^2 an = 2Sn ，有

例題3圖（3）

上述兩式相減，且 an 1 = Sn 1 - Sn 得

例題3圖（4）

因為 an > 0 , 所以 an 1 - an = 1 所以 an = 1 1 × （n - 1）= n , Sn = n（n 1）/2 。

所以

例題3圖（5）

（2）

因為

例題3圖（6）

所以

例題3圖（7）

所以

例題3圖（8）

例題3圖（9）

③ 裂項放縮

例題4、已知 n 是正整數，求證：

例題4圖（1）

證明：

因為

例題4圖（2）

所以

例題4圖（3）

④ 公式放縮

例題5、已知函數

例題5圖（1）

.證明：

例題5圖（2）

證明：

因為

例題5圖（3）

又因為 n 是正整數 且 n ≥ 3 ，所以隻需證明 2^n > 2n 1 ;

例題5圖（4）

所以

例題5圖（5）

.

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!