在“數學行者”學習研讨中，常州特級教師于新華做了《邊對角的解題技巧》講座，雖然講座中不少例題已經在網絡上研讨多次，但其中還是有許多值得感悟的地方．現将其講座内容重新整合，分為上下2部分，第一部分為求定值，第二部分為求最值．

【知識儲備】

一．定弦定角必有圓

若三角形一邊長度确定，該邊所對角的度數确定，則該邊所對頂點必在三角形外接圓上運動．(其運動軌迹為關于确定長度的邊對稱的兩段弧，但不包括點A，點B)

思路：如圖，∠ACB是AB所對的角，度數始終保持不變．則∠ACB可看作為圓周角，聯想到構造這個三角形的外接圓，點C的軌迹即為圓上的一部分，弧．考慮到對稱性，則是兩段弧．鈍角三角形同理．

二．弦長直徑乘正弦

已知△ABC外接圓⊙O半徑為r，則BC＝2r·sinA

思路：連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD，則∠D＝∠A，BC＝BD·sinD＝2r·sinA

無需涉及正弦定理，若∠A為鈍角，則BC＝2r·sin(180°－∠A)

三．弧長要減二倍角

已知△ABC外接圓⊙O半徑為r，則定角在運動過程中，頂點走過的路徑為一段弧長，其所對圓心角度數是360度減去2倍的這個定角的度數．

【例題分析】

一．求定長

例1：如圖，在邊長為1的方格中，⊙O過點A，B等8個格點，連接格點BD交⊙O于點C，連接AC，則AC＝_________

例2：在平面直角坐标系中，已知點A(4，0)，B(－6，0)，點C是y軸正半軸上的一點，且∠BCA＝45°，則點C的坐标為_________

本題有十餘種解法，類似題目詳見：一題十一解 漂亮

例3：在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，點D在AC邊上，AD＝5，∠ABD＝45°，求AB的長．

二．求軌迹長

例1：（2017 • 威海改編）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝2，若P為△ABC内一動點，且滿足∠PAB＝∠ACP，則點P運動的路徑長為______．

送上動态效果加以驗證：

例2：（2016 • 桂林）如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經過點A，連接AE，CF相交于點P，将正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞着點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是________．

最後送上動态效果加以驗證：

【總結反思】

對于一些涉及角度不變，邊長不變的題，我們的目标就是運用那三句口訣，當然，有些題的定角并非一眼就能看出，如求路徑長的2例，這就需要靈活分析，找到其中不變的角，一旦破解，皆是套路，不難矣！

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