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多邊形推導過程

生活更新时间:2024-11-25 09:53:31

所謂重心，是一個物理學概念，指的是一個物體，它所受的所有重力會合成一個合力，這個合力的方向當然是豎直向下的，于是合力必經過一個定點，這個定點就是重心。

說得好高端，好沒有煙火氣。

換個說法，重心，就是整個物體的質量都理想化地集中到一個點上，這個點就是重心。

很顯然，如果将物體懸挂起來，懸挂點和重心的連線必垂直于地面。

很顯然，如果在物體的重心上頂一個針尖，物體能平衡穩定地放在針尖上。

我以前的物理老師告訴我，我們可以用懸挂法求重心。就是将物體挂起來，從懸挂點作豎直線，再換個懸挂點将物體挂起來，從懸挂點再作豎直線，兩條豎直線的交點就是重心。

數學老師告訴我，三角形的重心就是三條中線的交點。

這些我都懂。

那麼，如何求任意一個多邊形的重心呢？

我們從簡單的性質入手。

一個點的重心就是點本身。

兩個點的重心在連接兩點的線段上。

多邊形推導過程（多邊形重心）1

如圖，設點A,B的質量分别為m,n，AB的重心為C

則在點C放一個針尖，将能夠使得線段平衡

即m⋅AC=n⋅BC

所以，

多邊形推導過程（多邊形重心）2

也就是說說，重心與質點的距離，與質點的質量成反比。

有了這個性質，我們就可以用數學手段求任意多邊形的重心了。

對于一個三角形ABC

多邊形推導過程（多邊形重心）3

我們可以先求出線段AB的重心，也就是AB的中點D，點D的質量為2

于是，點C,D的重心G在線段CD上

多邊形推導過程（多邊形重心）4

多邊形推導過程（多邊形重心）5

即點G為CD靠近D的三等分點。

我們也可以用另一個方法求。

顯然，AB的中點為D，BC中點為E

則重心在中線CD，AE上，

即CD與AE交點為重心G

多邊形推導過程（多邊形重心）6

然後，我們繼續研究更多邊的多邊形。

一個四邊形ABCD，我們可以用上面兩個辦法分别求重心。

方法一，

先看三角形ABC，我們可以求出其重心E，重心E的質量為3

則兩點DE的重心G在線段DE上

多邊形推導過程（多邊形重心）7

即重心G在線段DE的靠近E的四等分點上。

方法二，

将四邊形ABCD分成兩個部分AB和CD，

分别求出重心E,F，連接可得直線EF

再将四邊形ABCD分成兩個部分AD和BC，

分别求出重心E',F'，連接可得直線E'F'

那麼重心G為直線EF和E'F'的交點

多邊形推導過程（多邊形重心）8

解決完三角形、四邊形，我們可以總結出求任意n邊形重心的兩個基本套路。

套路一、求出n−1邊形重心G，再增加一個點的重心，為靠近G的n等分點。

套路二、用兩種劃分方法将多邊形分成兩部分，分别求重心，連線，則重心是兩條連線的交點。

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