前幾天有個家長問我餘數問題該如何解答，黃老師本講就來講講常見的餘數問題的解法。

例一：有一個不等于1的整數，它除300，262，205得到的餘數相同，這個整數是多少？

分析（分析不要求掌握，隻要求記住最後結論）：

我們設這個不等于1的整數為m，它除300，262，205得到的商分别為a,b,c，餘數相同，均設為n，根據題意列出式子如下：

300÷m=a……n

262÷m=b……n

205÷m=c……n

好，根據除法的定義：被除數=除數×商 餘數，得到：

300=a×m n ……1式

262=b×m n ……2式

205=c×m n ……3式

我們利用二元一次方程組的知識，

1式-2式（左邊減左邊，右邊減右邊），得到：

300-262=a×m n-(b×m n)，化簡得到：

38=(a-b)×m

同理，2式-3式，1式-3式分别得到：

57=(b-c)×m；95=(a-c)×m。

例二：如果某數除492，2241，3195都餘15，那麼這個數是幾？

分析：此題有2種解法。

解法一：參照例一，三個被除數兩兩相減，得到三個差分别是954、1749和2703，那麼，求這三個數的公因數，如下：

好，此題做到這裡，我們發現，我們一下子很難找出318、583和901的公因數，那麼，此題答案是不是3呢？

很明顯，答案不是3，因為題目中給出餘數是15，商是不可能大于餘數的。

所以，318、583和901三個數肯定還有其他公因數。

那這個（或幾個）公因數該如何找？

彩蛋來了

我們知道：幾個數如果他們有公因數，這個公因數一定是其中一個數的因數。

所以，我們在這幾個數中找一個較簡單（一眼能看出有因數的）的數，把這個數分解質因數，然後用分解出來的質因數一個一個試，看是否為公因數。

我們試一下318、583和901這三個數的公因數：

這三個數較簡單的是318，至少可以看出2是他的因數，所以我們選擇318這個數：

318先分解2，再分解3，得到53，53較易判斷，其是質數，所以：

318=2×3×53；

好，那我們下一步将2、3、53這三個因數分别試一下看看是不是318、583和901的公因數：

2：肯定不行，不能被583整除；

3：也不行，不能被901整除（9 0 1=10，不能整除3）；

318、583和901這三個數還有公因數（除1以外），那麼一定是53！

相信說了這麼多，聰明你一定懂了.

因為題目中沒有要求這個整數最大或最小，所以答案應該是兩個，即53和159（3×53）。

解法二：

先把餘數減掉，因為這個數除492，2241，3195都餘15，所以把餘數15減掉就可以整除這個數，然後再參照例一解法。

減掉餘數再兩兩相減得到的三個數分别是：477、2226和3180，一眼看不出公因數，選擇較為簡單的數3180來試：

發現：2不能被477整除，5不能被477整除，所以隻有3和53可以。

下略。

例三：求2003×59除以7的餘數？

此類題也較為常見，但多見于平時訓練，因為學生用常規方法同樣可以解出。

常規解法：

2003×59=118177，118177÷7=16882……3

簡便解法：

2003÷7=286……1；

59÷7=8……3；

1×3=3；

3÷7=0……3

所以答案是3.

簡便解法說明：先計算每個乘數除以7的餘數，然後再将餘數相乘再除以7。

習題：

1

2.自然數16520，14903，14177除以m的餘數相同，m的最大值是多少？

3.求11 22 33 44 55 66 77 88 99的結果除以3的餘數。

4.1991和1769除以某一個自然數n，餘數分别為2和1，n的最小值是？

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