本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

以折疊為例，探究生長型數學教學模式

作者：童朝敏

作品編号：019

【摘 要】數學教學活動，不是學生被動接受知識的過程，而是生長新知識，生長新方法，增長新經驗，生長新思維的過程。對數學知識學習，應找到問題基本模型和生長元，通過變式加強生長元培育，發散思維，拉長思維鍊，加強生長型教學模式的運用，加強結構教學。

【關鍵詞】生長元；基本模型；變式

數學模型具有文化的深刻性。英國數學家、哲學家懷特海指出：“數學就是對于模式的研究”。數學模型是對某種事物或現象所包含的數量關系或空間形式所進行的數學概括、描述和抽象的提煉，數學模型對于把數學思維方法轉化成科學研究，具有較強的指向作用。

數學教學活動，普遍存在刷題現象，往往是“零星散打”的孤立學習。大量重複的練習，既耗費了師生的時間，效果又不一定理想。學生遇到類似或相關問題，往往還不會解決。

我認為，有必要從生命的角度傳授數學知識，關注數學問題的本質，不斷生長新知識，生長新方法，增長新經驗，生長新思維。教學中采用生長型數學教學模式，加強變式和知識遷移，注重結構教學。

本文僅以折疊問題教學為例，從生長型教學模式角度去感受數學文化的深刻性。

一、建立模型，找準生長元

1.如圖1，在Rt△ABC中，兩條直角邊BC=8，AB=6，将△ABC折疊，使點B恰好落在斜邊AC上，對應點為B'，折痕為AE，求EB長。

圖1

基本思路：折疊後原圖形生成了新的Rt△B'EC，利用全等變換的性質，把新生的三角形各邊長表示出來，利用勾股定理列出等量關系。

此題可作為折疊問題的原始模型。由學生一起分析讨論圖形的結構特征，弄清楚折疊前後圖形的聯系，将待求線段與已知線段歸結到原圖上新生成的直角三角形中，用勾股定理建立三邊數量關系，是解決問題的路徑之一。

講解後，師生可提煉模型：Rt△ 折疊→一個新Rt△，這個基本模型可以看作折疊問題生長元。

師生再挖掘折痕AE的性質，易知折痕AE是∠BAC的角平分線，因此題目可以改編為：

在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6, BC=8, AE平分∠BAC，求BE長。

顯然，隻要過E點作E B'⊥AC，垂足為B，就轉化為基本模型題。

當然，例題及改編題涉及到角平分線，由角平分線的性質，可以利用等面積法解決，或

提煉與挖掘例題的過程中，發現如何把圖形中的分散線段，集中到同一個三角形中，進而建立聯系，是思維的出發點與生長點。如果聚焦到生成的直角三角形，可利用勾股定理解決；如果關注到角平分線性質，可利用面積法或其它數學知識解決。在多元化探求問題的過程中，學生思維得到生長，知識得到了靈活應用，體現基本模型中生長元的生命價值。

二、改造模型，挖掘生長元

在解決例題過程發現，折疊的對稱軸是一條具有定性作用的直線。如果改變對稱軸的位置，對稱軸将會改變它的性質，變化問題中的生長元是否也發生改變？讓學生嘗試改編例題。師生合作，共同篩選出以下兩個變式題：

D、E分别是斜邊AC和直角邊BC上的點，把△ABC沿着直線DE折疊，頂點C的對應點是C'。

1.如圖2，如果C'與A重合，求BE長。

2.如圖3，如果C'落在直角邊AB的中點上，求BE長。

分析變式題與例題已知條件的異同點，相同點都是Ｒｔ△中的折疊問題，不同點，是折痕的位置發生了改變，例題是内角平分線，改編題１，是斜邊的垂直平分線，改編題２，對稱點位于AB中點，它決定了對稱軸也是一條固定的直線。

學生觀察變式題容易發現：Rt△ 折疊→一個新Rt△，這個生長元仍然存在。變式題與模型題，都在折疊後在原圖上生成了新的Rt△，所以依然可以利用勾股定理，列出三邊的數量關系求解。

考慮到矩形與直角三角形的子母圖關系，鼓勵學生嘗試在矩形背景下改編例題例，篩選出改編題：

如圖４，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，點E是BC邊上的一點，連接AE。把△ABE沿着AE折疊，點B對應點是B'，當△ECB'為直角三角形時，求BE長。

這個改編題，顯然存在生長元。但要用分類讨論的思想方法對生長元進行讨論，如圖4（1）、圖4（2）,學生的思維鍊得到了拉長，教學也具有了生長性。生長元改造為：

矩形 折疊→一個新不确定位置Rt△。學生體會到解決折疊問題必須透過現象看本質，一定要在原圖上找到折疊後生成的直角三角形，無論它是位置如何，都由數或式表示出三邊長，由勾股定理建立三邊的數量關系或直接求出。兩次改編各有側重，折疊問題變得靈活，教學充滿了生機與活力。

三、拓展模型，升級生長元

模型題是直角三角形中的折疊，由于矩形具有四個直角，對折矩形保留直角，會出現直角三角形，但不一定沿着對角線折疊。因此，模型可拓展到矩形，拉長問題鍊，升級生長元。

已知：如圖５，折疊長方形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB=5，BC=12，求EC的長。

模型題的生長元，是在折疊後的圖形中生成了一個新的直角三角形，然後由勾股定理得到三邊關系。觀察本題，折疊後生成了兩個直角三角形，Rt△ABF、Rt△EFC。

易知Rt△ABF三邊長度固定，隻剩下Rt△EFC三邊待定，它就是問題的生長元。進一步思考，生成的兩個直角三角形，具有“一線三等角”的特征，可證Rt△ABF∽Rt△FCE，利用兩個相似三角形對應角相等，由對應邊成比例或三角函數定義，易得到邊長的數量關系。

圖５

由此可見，折疊矩形，可能生成兩個直角三角形，一個三邊已知，一個三邊不全知。如果兩個三角形，三邊均可以表示，可以利用相似三角形對應邊成比例性質求出。折疊問題的生長元得到升級，由一個Rt△生長為兩個Rt△，即：

矩形 折疊→兩個Rt△。

解決的工具有勾股定理增加了相似形的性質或銳角三角函數的定義，思維的鍊條又進一步拉長。

由于矩形有四個直角，折疊的次數可以由一次到多次，生成更多的直角三角形。可引導學生在此題的基礎上進一步折疊，并提出問題。

如圖６，在矩形ABCD中，AD=8。将∠A向内翻折，點A對應點A'在BC上，折痕為ED。若将∠B沿EA′向内翻折，點B對應點B′恰好落在DE，求DC長。

圖6

發現經過兩次折疊，生成三對全等三角形，由兩次折疊知道：∠AED、∠A'ED、∠A'EB三個角相等，易知均為60°，因此△A'DE邊長已知，轉化為上題。可見，折疊後三角形個數增加，折疊次數增加，但折疊問題的基本元不改變，找到生長元，問題立解。

四、變化模型，培育生長元

如圖7，在正方形紙片ABCD中，E是DC的中點，将正方形紙片折疊，點B落在線段AE上的點G處，折痕為AF，若AD=8，求CF長。

圖７

折疊後原圖上形成了一對對角為直角的四邊形，連接對角線，四邊形可劃分為兩個不相似的RT△，利用公共斜邊由勾股定理列出等量關系式。

如圖8，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG＝3，BG＝8，求BE的長。

圖8

折疊後形成了含有60°特殊角的三角形，作過E作BG邊的高，得到含有30°角的Rt△和一般的Rt△，在特殊三角形中表示三邊長，在一般Rt△中列方程。即：

特殊四邊形 折疊→含有特殊角的四邊形或三角形。

應把生成圖形分割成兩個直角三角形，培育了生長元，問題也迎刃而解。

五、融合模型，運用生長元

如圖9，已知一次函數圖象經過經過點A（1,3）和B（5,0）。

（1）求一次函數的解析式；

（2）若該一次函數的圖象與y軸的交點為C，點Q是x軸上一點，且滿足QA=QB，求點Q的坐标。

圖9

這道題，是一次函數題，看似與折疊無關，第（2）問，由條件QA=QB，可知Q點是BC垂直平分線與x軸的交點。顯然問題轉化為模型題，找到生長元 Rt△OQC，求出OQ，問題解決。

如圖10，在矩形ABCD中，AB=9，AD=12，點E是邊AD上一點，将△ABE沿直線BE對折，得到△FBE，延長EF與直線BC相交于點G。

（1）當點G在線段BC上時，若四邊形EGCD為矩形時，求AE的長。

（2）當點G與點C重合時，求AE長。

（3）當點G在BC的延長線上時，探究是否存在AE長使四邊形ACGE為平行四邊形？若存在，求出AE的長，若不存在，說明理由。

圖10

本題是平行四邊形的綜合題，題目已知折疊，可以利用生長元：生成的Rt△FBG，要發現BC=EC，是解題關鍵。（1）問由題意，生成不了三角形。（1）問不符合模型條件，但易求解。

由以上分析，找到和培育數學問題的生長元是基礎，分析生長元的結構特征是根本，通過變式與拓展，進一步掌握生長元的本質是關鍵。讓學生掌握前後知識的邏輯聯系，了解知識是如何“生長”的，從而讓學生有目标、有方向的學習，在知識的聯系中學習知識，學生隻有具備了結構知識，才能夠“存取自由”，才能夠高效和本質地解決問題，也體現了數學模式文化的深刻性。

參考文獻

[1]王美霞 李峰：尋求不同視角 開拓思維深度 [J].中學數學教學參考,2018中旬(4):23-24.

[2]汪佃才：習題深度教學的實踐探索與思考 [J].中學數學教學參考,2018中旬(5):56-59.

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