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歐拉公式立體幾何證明

生活更新时间:2024-09-05 16:14:43

一般地，我們可以用表示複數，其中

若将複數看作在複平面上一個的一個點

考慮把該點轉化為極坐标表示：

我們使，其中

得到複數還可以表示為

即

我們先考慮一個引理：

引理1：如果一個複數表示為那麼它的n次方就可以表示為

證明：我們用一般的代數方式可以得到：

歐拉公式立體幾何證明（被稱為上帝公式的歐拉公式你還不會推導嗎）1

整理得

類推可知證畢

接下來我們考慮另一個引理：

引理2： 證明

證明：我們知道

那麼證畢

接下來我們嘗試将引理2這個公式推廣到複數域：

設，，其中

則根據引理2有，接下來證明右邊的極限存在。

首先

利用引理1可以将上式表示為極坐标形式

我們先考慮一次形式：，它也可以寫為極坐标形式

易得

又得到

所以且

我們分别計算這兩個部分的極限：

由于這一極限不好求，所以我們求的極限。

歐拉公式立體幾何證明（被稱為上帝公式的歐拉公式你還不會推導嗎）2

我們根據等價無窮小得到

歐拉公式立體幾何證明（被稱為上帝公式的歐拉公式你還不會推導嗎）3

即

所以知道故

接下來計算

我們根據等價無窮小

得到：

歐拉公式立體幾何證明（被稱為上帝公式的歐拉公式你還不會推導嗎）4

所以

故：

歐拉公式立體幾何證明（被稱為上帝公式的歐拉公式你還不會推導嗎）5

所以

這就是著名的歐拉公式：

我們取代入得，它将數學裡幾個特殊的量以一種簡潔且明确的方式聯系在了一起。

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