一般地，我們可以用 表示複數，其中
若将複數看作在複平面上一個的一個點
考慮把該點轉化為極坐标表示：
我們使 ，其中
得到複數還可以表示為
即
我們先考慮一個引理：
引理1：如果一個複數表示為那麼它的n次方就可以表示為
證明：我們用一般的代數方式可以得到：
整理得
類推可知 證畢
接下來我們考慮另一個引理：
引理2： 證明
證明：我們知道
那麼 證畢
接下來我們嘗試将引理2這個公式推廣到複數域：
設 ， ，其中
則根據引理2有 ，接下來證明右邊的極限存在。
首先
利用引理1可以将上式表示為極坐标形式
我們先考慮一次形式： ，它也可以寫為極坐标形式
易得
又 得到
所以 且
我們分别計算這兩個部分的極限：
由于 這一極限不好求，所以我們求 的極限。
我們根據等價無窮小 得到
即
所以知道 故
接下來計算
我們根據等價無窮小
得到：
所以
故：
所以
這就是著名的歐拉公式：
我們取 代入得 ，它将數學裡幾個特殊的量以一種簡潔且明确的方式聯系在了一起。
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