數學家在研究一個問題時卻得到了意料之外的結果。很多時候，這樣的“副産品”的價值往往會超過原有工作本身。

16世紀，意大利數學家卡丹（Cardano，1501-1576）、邦貝利（Bombelli，1526-1572）等在解“三次方程”時，遇到了“整數可以用含√-1的式子表示”的矛盾，複數因此産生.

17世紀，牛頓（Newton，1643—1727年）發現了廣義“二項式定理”，并無意間将其運用到級數展開、及無窮分析上，直接導緻了他的另一項著名成果——“流數法”的發現，也就是我們熟悉的微積分.

牛頓

18世紀，數學家們對歐幾裡得《幾何原本》中的“第五公設”保持瘋狂的研究，不斷的證明、推翻最終導緻19世紀“非歐幾何”的誕生。

而在更久遠的古希臘，對著名的“三大作圖”之一——“倍立方”問題的解決則導緻了三個重要曲線的發現，它們分别是：抛物線、雙曲線、橢圓.

能否用尺規作圖的方法作出一立方體的棱長，使該立方體的體積等于一給定立方體的兩倍？

“倍立方”問題

希俄斯島的希波克拉底（Hippocrates of Chios，前470 -前410 BC）對“化圓為方”和“倍立方”問題都有深入研究，之于前者Hippocrates發現了“月牙定理”。

月牙定理

之于後者，Hippocrates将“倍立方”問題轉化為：找出滿足連比式a/x=x/y=y/2a所表達的曲線。其中，a為已知立方體邊長，x為所求立方體邊長.

作為一個勇敢的拓荒者，Hippocrates在解決“倍立方”問題上所付出的努力，已經為“圓錐曲線”的發現指明了方向。他的繼承者們隻要按照指示、稍做努力，就能從這座希望之島上發現無窮的寶藏。亞曆山大大帝的老師，梅内克缪斯 (Menaechmus，約前380–前320) 是第一個擁有高超的洞察力，并有資格繼承Hippocrates研究的人。

在Hippocrates研究的基礎上，Hippocrates用垂直于母線的平面截正圓錐得到了三個圓錐曲線:錐頂∠BAC為直角時得到抛物線，錐頂∠C'BC為鈍角時得到雙曲線一支，錐頂∠B'CB為銳角時得到橢圓。

這裡将抛物線放在首位，是因為人們首先發現并深入研究的并不是橢圓，而是抛物線。得到了抛物線的同時，Hippocrates還發現在“坐标”的基礎上，其表達式可以表示為：x^2=my. 進一步的，作出兩條抛物線：x^2=ay及y^2=2ax. 其交點P(x,y)的橫坐标x滿足X^3=2*a^3.

邊長為x的正方體體積是邊長為a的正方體的體積的兩倍。“倍立方”問題被解決了嗎？如果不考慮尺規作圖，是的。但是很遺憾，這裡用到了曲線，盡管得到了x的解，可該問題并沒有多大進展，因為此方法已超出了“尺規作圖”的範疇。事實上，後來已被證明，“倍立方”是不能以尺規作出來的.

顯然，Hippocrates也沒能解決“倍立方”問題，但對于數學的意義，其研究所産生的“副産品”——圓錐曲線為數學增添了更多活力。以此為基礎，同一世紀的阿基米德發明了“聚光鏡”成功擊退敵軍，求抛物線下的面積為17世紀微積分的發現提供很好的啟示。以上牛人的發展與創新固然是重要的，但對圓錐曲線研究最徹底的還是下面這位幾何大師。

二、圓錐曲線的雙圓錐截線定義

如果非要為古希臘數學家排名，我想排在前三的一定會是：阿基米德、歐幾裡得和阿波羅尼奧斯。阿基米德（Archimedes，公元前287年—前212年）以《論球和圓柱》等10餘本對純數學及應用數學都影響巨大的數學名著而跻身古今頂級數學家前列；歐幾裡得（Euclid，公元前450-前374年）則憑借他的演繹式幾何巨著《幾何原本》而大出風頭。

最後一位——阿波羅尼奧斯（Apollonius ，約公元前262～前190年）更是以8卷的《圓錐曲線論》把古希臘數學推向巅峰。Apollonius的工作要點是繼承和推廣了Hippocrates等希臘數學家對圓錐曲線研究，使其更加趨于完善、統一。

Diagram from Apollonius' Conics, in a 9th-century

在定義上，Apollonius使用了共頂點的兩個圓錐，并用不同方向的平面去截圓錐，同樣得到了Hippocrates所發現的三類曲線：

當在曲線上任取一點，縱坐标上的正方形都等于橫坐标與通徑所成矩形時，該曲線為抛物線(Parabola).大于時，該曲線為雙曲線(Hyperbola).小于時，該曲線為橢圓(Ellipsis)。

這裡使用“坐标”一詞并非Apollonius的本意，但他的思想中的确已經有了坐标的思想。用現代符号表示，相當于說當y^2=m*x時，為抛物線；y^2>m*x時，為雙曲線;y^2<m*x時，為橢圓. 等于、大于、小于，Apollonius在給圓錐曲線重新取名字也是很有講究的，如，這裡的Parabola有“貼合”的意思，而Hyperbola、Ellipsis分别可以引申為“超出”和“缺少”，和上面的定義不謀而合。

在給出了圓錐曲線新的構造、定義及命名後，Apollonius不但第一個發現了雙曲線有兩支，而且幾乎讨論了圓錐曲線的所有性質，讓後人無法插足.而且目前高中生學習的圓錐曲線幾乎所有幾何内容，都源自《圓錐曲線論》。下面為大家略舉一例。

現在教科書中通用的橢圓/雙曲線的第一定義；“到兩定點[焦點]的距離之和（之差）為定值的點的集合是橢圓（雙曲線）.”（當然，定義中橢圓要求定值大于焦距，雙曲線要求定值小于焦距.）。最早也以定理的形式出現在《圓錐曲線論》中——橢圓/雙曲線的焦半徑之和/差等于長軸長[焦半徑即橢圓上的點到焦點的距離]。

但和其他數學著名一樣，《圓錐曲線論》也留有遺憾。如，該書隻是以上面的形式間接的出現了橢圓和雙曲線的“焦點”。對于抛物線，由于沒有關于“準線”的定義及研究，其重要定義“到定點[焦點]的距離等于到定直線[準線]距離的點的集合”在書中并沒有出現。對此，數學史家有兩種截然不同的看法：一種是認為“焦點、準線”等概念被遺漏了，另一種則認為在Apollonius其他的著作中已經有了明确表述，因此就不用在《圓錐曲線論》中贅述了。

不管怎樣，這都是《圓錐曲線論》難以愈合的傷痛。為此，公元3世紀的帕普斯Pappus開了一副良藥——在《數學彙編》中，他補充給出了圓錐曲線的如下性質：到定點（焦點）的距離比上到定直線（準線）的距離為定值（離心率）.并将其歸功于歐幾裡得.

到此為止，圓錐曲線理論算是暫時達到了完美的境地，在接下來一千多年裡，除了在11世紀被海亞姆（Omor Khayyam，1048-1131年）用于求三次方程的根以外，圓錐曲線研究再無新的重要進展，圓錐曲線沉寂了。

海亞姆（Omor Khayyam，1048-1131年）

三、圓錐曲線在實際應用中重生

直到16世紀，天文學、力學、以及光學的重要運用讓圓錐曲線在浴火中重生了。

1609年，德國著名數學家開普勒（Kepler，1571—1630年）在《新天文學》上發表了他的行星運動定律之“軌道定理”——每一個行星都沿各自的橢圓軌道環繞太陽，而太陽則處在橢圓的一個焦點中。緊接着，伽利略（Galilei，1564-1642年）給出了彈道軌迹是抛物線的結論。

行星運行軌迹——橢圓

17世紀望遠鏡的發明，尤其是1672年卡塞格林（Cassegrain ）的望遠鏡（結合雙曲線、抛物線的光學性質）讓科學更加離不開“圓錐曲線”

卡塞格林望遠鏡

原理

這三項重大應用加上古希臘便已熟知的“聚光鏡”作用，大大增強了人們研究圓錐曲線的好奇心。圓錐曲線研究再次起航。

在同期的1579年蒙蒂（Monte,1545~1607）抛棄了古希臘人的定義方法（截面定義），把橢圓定義為：到兩個焦點距離之和為定長的動點的軌迹。這是我們現在教科書常用的結論，後來被法國數學家洛必達（Hôpital,，1661-1704）引入其著作《圓錐曲線分析》中。但是對于圓錐曲線除了引入概念以外，并沒有更新穎的想法被引入。

洛必達（Hôpital,，1661-1704）

到了17世紀，情況就有所不同了。法國數學家笛卡爾（Descartes，1596—1650年）在研究尺規作圖、帕普斯問題時，将“幾何”與“代數”相融合.費馬（Fermat，1601-1665年）則以《平面與立體軌迹導論》為起點.分别開始了他們的“解析幾何”之旅。

費馬（Fermat，1601-1665年）

這是一場新的革命，之于“圓錐曲線”也是一個新的起點。至此，研究“圓錐曲線”便不再完全依賴于幾何的方法，隻要建立直角坐标系，給出一個x與y的二次方程，便能知道對應的曲線是橢圓、雙曲線還是抛物線，甚至它們的一切性質都變得簡單了.

進入18、19世紀，“圓錐曲線”的性質研究沒有更多值得關注的，但至少有一個發現例外。法國數學家丹迪林（Dandelin ，1794 - 1847年）以一種更為直觀的方式呈現了“橢圓”的定義： 在圓錐裡上下各塞進相離内切球，球面與切截平面的切點就是焦點，得到橢圓．

性質幾乎沒有新的發現，但是18以後“圓錐曲線”在應用上卻超乎人們想象：電影放映機的聚光燈、高壓疝氣燈的聚光器、攝影用的“雙葉旋轉雙曲面”、手電筒、探照燈、衛星發射天線......這一切都超出了人們尤其是古希臘先賢們的想象，而且“圓錐曲線”還在不斷拓寬我們的視野。 你覺得“圓錐曲線”将帶給我們的下一個驚喜是什麼呢？

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