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圓是高中範圍内接觸最早的二次曲線。在高考範圍内，做圓相關的解析幾何題很少用到聯立求解等複雜的代數運算，通常通過數形結合即可解決問題，比如可行域等圓的最值問題，可參考《【代數思維系列】圓的最值問題》。

由于圓具有很多好用的幾何性質，接下來我們通過圓的解析幾何方法來推導一些關于圓的結論。

曲線系（也稱：曲線簇、曲線束）是指具有某種共同性質的曲線的集合。比如：

y-1=k(x-2)，表示恒過(2,1)，斜率任意的直線系；

y=2x b，表示斜率為2，截距任意的平行直線系；

(x-1)² (y-2)²=r²，表示圓心為(1,2)，半徑任意的同心圓系；

(x-a)² (y-2a)²=a²，表示圓心在y=2x直線上，且與y軸相切的圓系……

等等。

類似橢圓、雙曲線、抛物線等也可以寫出很多曲線系，都可以運用于解決實際問題。

曲線系運算有多種組合，在這裡我們隻讨論線性組合。

設圓C1：x² y² D1x E1y F1=0；圓C2：x² y² D2x E2y F2=0

則這兩個圓的線性組合為k1C1 k2C2=0，設組合後的曲線為C3。

• 當k1 k2≠0時

顯然由于C3的x²項和y²項的系數相等，故C3也是圓（特殊情況下C3隻表示一個點，或不存在）

1.如果兩個圓有兩個交點，A（x1,y1）、B（x2,y2），則

（1）因為A、B兩點坐标代入k1C1 k2C2=0，也能使等式成立，故C3同樣過A、B兩點。

（2）C3圓心在C1和C2圓心的連線上，特别的，當k1=k2時，C3圓心在C1和C2圓心的中點。

2.如果兩個圓相切與點A（x1,y1），則

（1）因為A點代入k1C1 k2C2=0，也能使等式成立，故C3同樣過A點。

（2）C3圓心在C1和C2圓心的連線上，特别的，當k1=k2時，C3圓心在C1和C2圓心的中點。

（3）因為C1、C2、C3的圓心與點A都在同一條直線上，故C1、C2、C3都相切于點A，特别的，當C3圓心位于A點時，C3僅表示一個點。

3．如果兩個圓沒有交點，則C3有可能不存在，暫不讨論。如果存在，其圓心也在C1和C2圓心的連線上。

• 當k1 k2=0時

則C3表示一條直線，且C3是圓C1和圓C2的根軸，滿足等幂性。

1.當兩個圓有兩個交點時，C3為兩個圓的公共弦所在直線。

2.當兩個圓相切時，C3為共兩個圓切點的公切線。

3.特别的，因為同心圓沒有根軸，顯然，當C1和C2為同心圓時，C3也不存在。

圓系應用很多，在此不再祥舉。接下來嘗試利用圓系的運算推導對稱點公式。

我們知道，當圓的方程：(x-a)² (y-b)²=r²中，r=0時，該方程僅表示點（a,b），且當兩圓半徑相同時，其根軸即為兩圓圓心連線的中垂線。利用該性質，則：

①式減②式，即為兩點對稱軸。

相減後方程為：

顯然，上述方程即為Ax By C=0

于是有 ：

這個方程組有兩個未知數（x2和y2）和三個方程，該方程組很可能無解。但已知定點關于定直線的對稱點一定存在，那麼問題出在哪呢？

問題出在：Ax By C=0與Akx Bky Ck=0，表示的是同一條直線，即我們忽略了參數k的存在。于是上述方程組應改寫為：

由④、⑤得：

将⑦、⑧代入⑥式，解得：

将⑨式代入⑦、⑧，即有：

文|高見遠，轉載請注明出處。

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