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全微分的再微計算例題及答案

生活更新时间:2024-10-14 20:13:47

11.6 線性化和微分

二元或多元函數的線性化和微分類似一元函數的線性逼近. 先來回顧下一元的公式.

全微分的再微計算例題及答案（線性化和全微分）1

二元函數的線性化

用更簡單的二元函數來代替函數 f(x,y).

全微分的再微計算例題及答案（線性化和全微分）2

也就是 z=L(x,y) 是曲面f(x,y) 在點 (x0,y0) 的切平面. 觀察下面動畫來查看函數 f(x,y) = -x^2−y^2 在點 (0,0) 的線性化逼近.

全微分的再微計算例題及答案（線性化和全微分）3

從上圖可以看到二元函數的線性化切平面逼近與一元函數的切線線性化逼近是非常類似的.

标準線性逼近的精确度

現在考慮逼近的精确度是如何衡量的, 這裡受到三個因素的影響:

x 和 x0 的接近程度
y 和 y0 的接近程度
函數 f 在點 (x0,y0)附近的彎曲程度(可以用二階導數衡量)

用微分來預測變化

全微分的再微計算例題及答案（線性化和全微分）4

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