我們在學校學的數學并沒有很好的解釋目前數學涉及的領域，我們隻是管中窺豹。但數學作為一個整體是一門龐大而多樣的學科。

現代數學可以大緻分為兩個領域，純數學，即研究數學本身，以及應用數學，即開發數學來幫助解決一些現實世界的問題，但是有很多交叉。

數學地圖

事實上，曆史上有很多次，有人進入了數學的荒野，純粹是出于好奇心和某種美感的引導，然後他們創造了一大堆新的數學，這很好很有趣，但它并沒有真正做任何有用的事情。但是，一百年後，有人會在物理學或計算機科學的前沿研究一些問題，他們會發現純數學中的這個舊理論正是他們解決現實世界問題所需要的。我認為這很神奇。在過去的幾個世紀裡，這種事情已經發生了很多次，有趣的是，如此抽象的東西往往會變得非常有用。

但我也應該提到，純數學本身，仍然是一件非常有價值的事情，因為它可以令人着迷，它本身可以有一種真正的美和優雅，幾乎成為藝術。

純數學由幾個部分組成。對數字的學習，從自然數和算術運算開始。然後它看其他類型的數，比如整數，包含負數，有理數，比如分數，實數，包括像π這樣的數，一直到無限個小數點，然後是複數，還有一大堆其他的數。有些數有一些有趣的性質，比如質數，π，e。這些數字系統也有一些性質，例如，雖然整數和實數都是無限的，但實數比整數多，所以有些無窮大比另一些大。

對結構的研究就是把數字以變量的形式代入方程。代數包含了如何處理這些方程的規則。在這裡，你也會發現向量和矩陣，它們是多維的數字，它們之間的關系規則在線性代數中得到了體現。

數論研究的是關于數字的最後一節中所有事物的特征，比如質數的性質。組合學着眼于特定結構的屬性，如樹、圖和其他由可以計數的離散塊組成的東西。

群論研究的是在良好群體中相互關聯的對象。一個熟悉的例子是魔方，它是排列組的一個例子。而秩序理論研究的是如何按照一定的規則安排物體，比如一個量比另一個量大。自然數是對象有序集合的一個例子，但任何具有任何雙向關系的對象都可以有序。

純數學的另一部分研究形狀及其在空間中的行為。它的起源是幾何，包括勾股定理和三角定理，我相信我們在學校都很熟悉三角定理。還有一些有趣的東西，比如分形幾何，這是一種數學模式，是縮放不變的，這意味着你可以一直放大它們，它們看起來總是一樣的。拓撲學着眼于空間的不同屬性，你可以不斷地變形它們，但不能撕裂或粘接它們，最後，微分幾何研究曲面上形狀的性質，例如三角形在曲面上有不同的角度曲面。這就引出了下一個部分，即變化。

變化的研究包括微積分，它包括積分和微分，它研究函數的突出面積，或函數的梯度的行為。向量微積分是一樣的，但作用于向量。我們還發現了其他一些領域，比如動力系統，它研究的是随時間從一種狀态進化到另一種狀态的系統，比如流體，或者有反饋回路的東西，比如生态系統和混沌理論，它研究的是對初始條件非常敏感的動力系統。

最後，複變分析研究具有複數的函數的性質。

再說應用數學。

我們從物理開始，數學和理論物理與純數學有着非常密切的關系。

數學也被用于其他自然科學，如數學化學和生物數學，它們研究大量的東西，從建模分子到進化生物學。

數學也廣泛應用于工程、建築等領域。數值分析是一種數學工具，通常用于數學過于複雜而無法完全解決的地方。因此，相反，使用大量的簡單近似，并将它們結合起來，以得到一個良好的近似答案。

博弈論研究的是在給定一組規則和理性參與者的情況下，最佳選擇是什麼，它用于經濟學中，當參與者可以是聰明的，但并不總是如此。還有心理學和生物學等其他領域。

概率是對随機事件的研究，比如投擲硬币、骰子或人類。統計學是對大量随機過程的研究，或對數據的組織和分析。這顯然與數學金融有關，在數學金融中，你想要建立金融系統的模型，就能獲得優勢，赢得所有。

與此相關的是優化，你試圖在一組不同的選項或約束中計算出最佳選擇，你通常把它想象成試圖找到函數的最高點或最低點。優化問題是我們人類的第二天性，我們一直在做，試圖獲得最佳的金錢價值或試圖以某種方式最大化幸福。

另一個與純數學密切相關的領域是計算機科學。計算機科學的規則實際上是從純數學中推導出來的。這是另一個例子，在可編程計算機出現之前就已經有了。機器學習，智能計算機系統的創建使用了數學的許多領域，如線性代數，優化，動态系統和概率。

最後，密碼學的理論是非常重要的計算，它使用了很多純數學，比如組合數學和數論。

這就涵蓋了純數學和應用數學的主要部分。

但不能在不了解數學基礎的情況下結束。這個領域試圖找出數學本身的特性，并提出所有數學規則的基礎是什麼？是否存在一套完整的基本規則，稱為公理，所有的數學都來源于公理？我們能證明它本身是一緻的嗎？數學邏輯、集合論和範疇論試圖回答這個問題。和著名的數理邏輯結果腰帶不完全性定理，數學對大多數人來說，這意味着沒有一個完整的和一緻的公理，也就是說都是由我們人類，這很奇怪，看到宇宙中數學解釋說這麼多東西。為什麼人類創造的東西能做到這一點呢？這是一個很深的謎團。我們也有理論計算，看起來在不同模型的計算以及如何有效地解決問題，并且包含複雜性理論，看是什麼和不是可計算的，你需要多少内存和時間，最有趣的問題是一個瘋狂的數量。

這就是數學的地圖。

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