塔珀自指公式可能是世界上最神奇的不等式之一, 是由傑夫·塔珀(Jeff Tupper)在撰寫他所開發的GrafEq程序論文時候所發現的. 該自指公式最大的特點就是公式的二維點圖與公式本身外觀是一樣.

塔珀自指公式是一個不等式, 如下表示:

這看起來還很複雜，但我們能夠弄清楚這些符号是究竟含義。符号 ⌊ x ⌋ 代表向下取整，比如 ⌊ 3.2 ⌋=3。而 mod(a,b) 表示 a 除以 b 得到的餘數, 如 mod(11,5)=1。現在取一個常數 k 等于：

k=960 939 379 918 958 884 971 672 962 127 852 754 715 004 339 660129 306 651 505 519 271 702 802 395 266 424 689 642 842 174 350 718 121 267 153 782 770 623 355 993 237 280 874 144 307 891 325 963 941 337 723 487 857 735 749 823 926 629 715 517 173 716 995 165 232 890 538 221 612 403 238 855 866 184 013 235 585 136 048 828 693 337 902 491 454 229 288 667 081 096 184 496 091 705 183 454 067 827 731 551 705 405 381 627 380 967 602 565 625 016 981 482 083 418 783 163 849 115 590 225 610 003 652 351 370 343 874 461 848 378 737 238 198 224 849 863 465 033 159 410 054 974 700 593 138 339 226 497 249 461 751 545 728 366 702 369 745 461 014 655 997 933 798 537 483 143 786 841 806 593 422 227 898 388 722 980 000 748 404 719

然後在 0≤x≤106 和 k≤y≤k 16 這個範圍内會将滿足此不等式的點用藍色繪制出來，不滿足的話就保持空白，這樣許多組 x 和 y 的取值繪圖後的結果将如下圖所示:

非常有意思吧？出現了表示它本身的一個點圖圖像——當然隻是取了 y 軸正半軸很小很小一塊區域。我們還可以在 y 軸上下移動，就會看到塔珀自指公式能畫出幾乎所有的圖形。比如數學最基礎的算式 1 1=2，就是在 k 為下值時候出現在 y 軸 k≤y≤k 16 出現的：

k=3596885241211235301799390604472124986246273036006916367300002769785413807978373500903964431807567135453401389370106292445945414450427681485131578549859312107233051224237061204430549471393409704644479678722842672876077539316285189726329179204736156245558639290003081129459134708707909326566832572887653212571275122711026434902293574106566352702601247428272242391252992

再來是另一個著名的公式，大家都知道的勾股定理：

它相應的 k 值為：

k=21150481658288963618284789365260387207572068455939754769238269980719858577869764558538553037691853531611005573293045407364073594414585556069911379429086374416522529975321491465164162563830791749404961887405705244943502300113572549509642731968049297364068432424492233465146673114209282104160749172071650104053132354362230451980161058590320783702627544425852219970346015559869074978219836871540736

并且你要知道，不僅僅局限與數字或公式就是文字也是能在塔珀公式圖形中找到相應的位圖。如當 k 等于下面圖形中數值的時候就會出現這樣的文字。(注：我這裡将這句話拆分成了 2 個片段，所以會在兩個 k 值下得到兩個圖像)

由圖片來找到相應的 k 值

反過來講，如果手上已經有了一張 106×17 的小圖片，能找到相應 k 值嗎？如何找到呢？其實并不複雜，按照下面幾個步驟就可以了：

1. 從小圖片最左下角像素開始，如果空白記為 0，如果有着色記為 1。然後往上移動一行，按此規則進行算出相應的 0 或 1 。
2. 第一列處理完後，往右移動再從第二列最底部往上開始照此計算。然後第三列、第四列、第五列，直到處理完整個 106×17 範圍内的像素。
3. 現在再按照整個順序将這串 1802 位很長的 01 字符，從二進制轉成十進制，并且乘上 17，得到就是 k 的值了。

自己動手來把玩

下面這個網站(keelyhill.github.io/tuppers-formula)塔珀公式繪圖的一個JS交互式實現。浏覽器即可運行，可以點選像素繪制像素圖生成參數值，也可以輸入十進制或二進制參數值生成像素圖。比如上面的勾股定理圖像：

這麼好玩的公式，你不想動手試下嗎？

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