全等三角形的證明，主要應用在證明邊或者是角相等的時候，作為重要的證明手段，很多方法是可以歸納總結出來的，要想正确地表示兩個三角形全等，找出對應的元素是關鍵。全等三角形的應用：運用三角形全等可以證明線段相等、角相等、兩直線垂直等問題，同時能通過判定兩個三角形全等進而證明兩條線段間的位置關系和大小關系．而證明兩條線段或兩個角的和、差、倍、分相等是幾何證明的基礎．在證明的過程中，注意有時會添加輔助線。以下通過典型例題的方式詳解五種常見輔助線的做法。

首先我們學習一下找全等三角形的方法：（1）可以從結論出發，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分别在哪兩個可能全等的三角形中；（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以确定哪兩個三角形全等；（3）可從條件和結論綜合考慮，看它們能确定哪兩個三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。

三角形中常見輔助線的作法：①延長中線構造全等三角形；②利用翻折，構造全等三角形；③引平行線構造全等三角形；④作連線構造等腰三角形。

思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用；2）解題思路：要求證BD=2CE，可用加倍法，延長短邊，又因為有BD平分∠ABC的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。

解答過程：證明：延長BA，CE交于點F，在ΔBEF和ΔBEC中，

∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。

又∠1 ∠F=∠3 ∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

點撥：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯系，為同學們開拓了一個廣闊的探索空間；并且在添加輔助線的過程中也蘊含着化歸的數學思想，它是解決問題的關鍵。

2、若遇到三角形的中線，可倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。

例2：如圖，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特别要注意題目中出現的中點、中線、中位線等條件，一般這些條件都是解題的突破口，本題給出了AD又是BC邊上的中線這一條件，而且要求證AB=AC，可倍長AD得全等三角形，從而問題得證。

解答過程：證明：延長AD到E，使DE=AD，連接BE。

又因為AD是BC邊上的中線，∴BD=DC

又∠BDE=∠CDA，所以ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，∵AD是∠BAC的平分線

∴∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

點撥：題目中如果出現了三角形的中線，常加倍延長此線段，再将端點連結，便可得到全等三角形。

3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。

例3：已知，如圖，AC平分∠BAD，CD=CB，AB>AD。求證：∠B ∠ADC=180°。

思路分析：1）題意分析：本題考查角平分線定理的應用。2）解題思路：因為AC是∠BAD的平分線，所以可過點C作∠BAD的兩邊的垂線，構造直角三角形，通過證明三角形全等解決問題。

解答過程：證明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F。

∵AC平分∠BAD，∴CE=CF。在Rt△CBE和Rt△CDF中，∵CE=CF，CB=CD，

∴Rt△CBE≌Rt△CDF，∴∠B=∠CDF，∵∠CDF ∠ADC=180°，∴∠B ∠ADC=180°。

點撥：①關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；

②見中點即聯想到中位線。

4、過圖形上某一點作特定的平行線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”

例4：如圖，ΔABC中，AB=AC，E是AB上一點，F是AC延長線上一點，連EF交BC于D，若EB=CF。求證：DE=DF。

思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2）解題思路：因為DE、DF所在的兩個三角形ΔDEB與ΔDFC不可能全等，又知EB=CF，所以需通過添加輔助線進行相等線段的等量代換：過E作EG//CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。

解答過程：證明：過E作EG//AC交BC于G，

則∠EGB=∠ACB，又AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠EGB，∴∠EGD=∠DCF，

∴EB=EG=CF，∵∠EDB=∠CDF，∴ΔDGE≌ΔDCF，∴DE=DF。

點撥：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：

5、截長法與補短法，具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是将某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明。這種作法，适合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

例5：如圖甲，AD∥BC，點E在線段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求證：CD=AD BC。

思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：截長法或補短法。2）解題思路：結論是CD=AD BC，可考慮用“截長補短法”中的“截長”，即在CD上截取CF=CB，隻要再證DF=DA即可，這就轉化為證明兩線段相等的問題，從而達到簡化問題的目的。

解答過程：證明：在CD上截取CF=BC，如圖乙

在△FCE與△BCE中，CF=CB,∠FCE=∠BCE，CE=CE

∴△FCE≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，

∴∠ADC ∠BCD=180°，∴∠DCE ∠CDE=90°，∴∠2 ∠3=90°，∠1 ∠4=90°，

∴∠3=∠4。在△FDE與△ADE中，∠FDE=∠ADE,DE=DE,∠3=∠4,△FDE≌△ADE（ASA），

∴DF=DA，∵CD=DF CF，∴CD=AD BC。

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