矩陣向量的乘積可以理解為将一個特定的線性變換作用在向量上, 本次我們先看幾個特殊的矩陣下的變換以及矩陣矩陣的乘積.
零矩陣即所有元素都是 0 的矩陣, 記為 O . 可以用下标來表示矩陣的大小:
零矩陣表示的變換是将空間壓縮到原點, 可以觀察在 2 階零矩陣的作用下, 空間被壓縮到原點的變化過程, 注意行列式的值最後為 0:
是對角元素為 1, 其餘都是 0 , 記為 I.
單位矩陣對空間什麼都不改變, 保持基向量不變, 也被稱為"恒等變換", 可以看下面對應的空間變化過程(盡管沒有改變):
對角矩陣除了對角元之外所有元素均為 0 的矩陣稱之為對角矩陣.
對角矩陣表示的沿着坐标軸伸縮變換, 其中對角元素就是各軸伸縮的倍率, 并且下例矩陣 A 的對角元素中含有 2 個負數, 可以看做經過了 2 次鏡像翻轉, x,y 兩個方向先是壓縮, 然後再被拉伸, 面積擴大為原來的 6 倍, 這樣行列式的值為 6.
上面都是進行一次變換的操作, 如果想要再進行一次(甚至更多)變換, 就要矩陣和矩陣相乘了. 譬如下面矩陣 A 相當于将空間旋轉, 矩陣 B 是橫向拉伸.
如果是 BA 兩個矩陣相乘的運算, 就相當于先旋轉再拉伸, 這樣的複合變換運算順序是從右往左進行, 可以觀察下面的動畫:
如果是 AB 兩個矩陣相乘的運算, 就相當于先拉伸後旋轉, 運算順序是從右往左, 可以觀察下面的動畫:
從上面兩個變換動畫, 可以得出結論矩陣的乘積不滿足交換律(可以想象滿足結合律):
可以計算出 BA 和 AB 的值:
如何計算矩陣的乘積, 除了課本上給出的方法, 還可以按照列的線性表出來進行, 以 BA 為例:
另外, 如果兩個矩陣都不是零矩陣, 但是矩陣的乘積可能會是零矩陣, 比如在下面兩個矩陣:
空間中, A 做橫向壓縮, B 做垂直壓縮, 經過 A 然後 B 的變換後, 也會映射到原點.
上面就是本次圖解線性代數所回顧的知識點. 好了, 現在讓我們在下一篇的中再見!
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