對于傅裡葉變換，其中的一些概念很容易讓人模糊不清，比如，周期函數和非周期函數的傅裡葉轉換有什麼不同，
核函數
這四個核函數更是讓人頭痛不已，到底什麼時候要負号，什麼時候不要負号，什麼時候有n,什麼時候沒有n。這篇文章就讨論一下這個問題。
我們先把這個證明的思路搞清楚：首先
也就是說，這裡證明的是周期函數的傅裡葉級數展開；然後我們再看一下這個證明的思路： 它首先是假設任何一個周期函數都可以展開為正弦函數之和，然後再求出各個正弦函數的系數，系數求出的過程也很簡單，就是以正弦函數的周期
進行方程左右兩邊的積分，最後得出傅裡葉級數的系數表達式。注意，是傅裡葉級數，不是傅裡葉變換。然後，上述結果可以寫成：
接着，是利用歐拉公式将這個表達式轉變成指數形式：
最後，f(t)可以合并寫成：
上述轉變過程很容易看懂，看懂以後，我們隻要注意到：第一個表達式就是周期函數f(t)的指數傅裡葉級數形式，其核函數裡面有n,沒有負号，這個表達式表示的是周期函數f(t)從時域到頻域的級數展開過程；第二個表達式表示的是函數f(t)展開為傅裡葉級數時的系數的求法，其核函數裡面有n,也有負号。 接下來，就需要把周期函數轉變成非周期函數，再求其傅裡葉變換。這個轉變過程更簡單，就是假設
然後定義非周期函數的傅裡葉變換
上述是定義，不用什麼證明，我們注意到，這個時候核函數裡面沒有n,有負号，這是時域到頻域的正向變換過程。那麼對于非周期函數f(t),就有
這個時候核函數裡面沒有n,沒有負号，這是頻域到時域的逆向變換過程。 最後，我們把周期和非周期函數的傅裡葉過程放在一起，總結一下：
從上面的分析可以總結如下：
1:周期函數對應于傅裡葉級數，非周期函數對應傅裡葉變換，兩者之間的轉化在于周期T是否是無窮大。
2：傅裡葉級數中，核函數裡面都有n;而傅裡葉變換裡面都沒有；
3：無論傅裡葉級數還是傅裡葉變換，函數展開時（f(t)在方程左邊），核函數都是正的;否則都是負的。
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