小學數學知識大彙總歸納?主要内容求一個數比另一個數多（少）百分之幾、納稅問題，我來為大家科普一下關于小學數學知識大彙總歸納?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

小學數學知識大彙總歸納

主要内容

求一個數比另一個數多（少）百分之幾、納稅問題

學習目标

1、使學生在現實情境中，理解并掌握“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”的基本思考方法，并能正确解決相關的實際問題。

2、使學生在探索“求一個數比另一個數多（少）百分之幾”方法的過程中，進一步加深對百分數的理解，體會百分數與日常生活的密切聯系，增強自主探索和合作交流的意識，提高分析問題和解決問題的能力。

3、使學生初步認識納稅和稅率，理解和掌握應納稅額的計算方法。

4、初步培養學生的納稅意識，繼續感知數學就在身邊，提高知識的應用能力。

5、培養和解決簡單的實際問題的能力，體會生活中處處有數學。

考點分析

1、一個數比另一個數多（少）百分之幾 = 一個數比另一個數多（少）的量÷另一個數。

2、應該繳納的稅款叫做應納稅額，應納稅額與各種收入的比率叫做稅率，應納稅額 = 收入 × 稅率

典型例題

例1、（解決“求一個數比另一個數多百分之幾”的實際問題）

向陽客車廠原計劃生産客車5000輛，實際生産5500輛。實際比計劃多生産百分之幾？

分析與解：要求“實際比計劃多生産百分之幾”，就是求實際比計劃多生産的輛數占計劃産量的百分之幾，把原計劃産量看作單位“1”。兩者之間的關系可用線段圖表示。

計劃産量

5000輛 實際比計劃多的

實際産量

5500輛

解答：方法1：

5500 – 5000 = 500（輛） …… 實際比計劃多生産500輛

500 ÷ 5000 = 0.1 = 10％ …… 實際比計劃多生産百分之幾

方法2：

5500 ÷ 5000 = 110％ …… 實際産量相當于原計劃的110％

110％ - 100％ = 10％ …… 實際比計劃多生産百分之幾

答：實際比計劃多生産10％。

例2、（解決“求一個數比另一個數少百分之幾”的實際問題）

向陽客車廠原計劃生産客車5000輛，實際生産5500輛。計劃比實際少生産百分之幾？

分析與解：要求“計劃比實際少生産百分之幾”，就是求計劃比實際少生産的輛數占實際産量的百分之幾，把實際産量看作單位“1”。兩者之間的關系可用線段圖表示。

計劃産量

5000輛

計劃比實際少的

實際産量

5500輛

解答：方法1：

5500 – 5000 = 500（輛） …… 計劃比實際少生産500輛

500 ÷ 5500 ≈ 9.1％ …… 計劃比實際少生産百分之幾

方法2：

5500 ÷ 5500 ≈ 90.9％ …… 計劃産量相當于實際的90.9％

100％ - 90.9％ ≈ 9.1％ …… 計劃比實際少生産百分之幾

答：計劃比實際少生産9.1％。

點評：想一想，在分數乘法應用題中的最基本的數量關系式：“單位1 × 分率 = 分率對應的量”，如果和百分數應用題結合起來，求一種量比另一種量多（少）百分之幾，實際上就是求分率。就用“多（少）的量 ÷ 單位1”。

例3、（難點突破）

一筐蘋果比一筐梨重20％，那麼一筐梨就比一筐蘋果輕20％

分析與解：蘋果比梨重20％，表示蘋果比梨重的部分占梨的20％，把梨的質量看作單位“1”；而梨比蘋果輕20％則表示梨比蘋果輕的部分占蘋果的20％，把蘋果的質量看作單位“1”，兩個單位“1”不同，切忌将兩個問題混為一談。一筐蘋果比一筐梨重20％，是把梨看作單位“1”，梨有100份，蘋果就是100 20 = 120份；一筐梨比一筐蘋果輕百分之幾 = 一筐梨比一筐蘋果輕的部分 ÷ 蘋果 = （120 - 100）÷ 120≈16.7％

答：一筐蘋果比一筐梨重20％，那麼一筐梨就比一筐蘋果輕16.7％

點評：在求一個數比另一個數多（少）百分之幾的百分數應用題中，關鍵還是要找準單位“1”的量。從結論可以得出“一個數比另一個數多百分之幾，另一個數就比一個數少百分之幾。”這句話是錯的。為什麼呢？把兩個百分之幾比較一下，就可以得出這兩個百分之幾對應的量是一個數比另一個數多的量或另一個數比一個數少的量，而這兩種說法是相同的，也就表示的是同一個量；而單位“1”一個是梨，一個是蘋果，所以這兩個百分之幾是不可能相等的。

例4、（考點透視）

一種電子産品，原價每台5000元，現在降低到3000元。降價百分之幾？

分析與解：降低到3000元，即現價為3000元，說明降低了2000元。求降價百分之幾，就是求降低的價格占原價的百分之幾。

5000 – 3000 = 2000（元）

2000 ÷ 5000 = 40％

答：降價40﹪。

例5、（考點透視）

一項工程，原計劃10天完成，實際8天就完成了任務，實際每天比原計劃多修百分之幾？

分析與解：根據“原計劃10天完成”，可以得到：原計劃每天完成這項工程的；根據“實際8天完成”，可以得到：實際每天完成這項工程的。用“實際比原計劃每天多完成的量 ÷ 原計劃每天完成的量”，就可以求出實際每天多修百分之幾。

（ - ） ÷ = 25％

答：實際每天比原計劃多修25％。

點評：找準解決問題的數量關系式是解答好這一題的關鍵，題目中要求的是每天完成的任務量，而不能用10和8去求，因為10和8是工作時間，在解答時容易發生錯誤。

例6、（應納稅額的計算方法）

益民五金公司去年的營業總額為400萬元。如果按營業額的3％繳納營業稅，去年應繳納營業稅多少萬元？

分析與解：如果按營業額的3％繳納營業稅，是把營業額看作單位“1”。 繳納營業稅占營業額的

3％，即400萬元的3％。求一個數的百分之幾是多少，也用乘法計算。計算時可将百分數化成分數或小數來計算。

400×3％ = 400× = 12（萬元）

或400×3％ = 400×0.03 = 12（萬元）

答：去年應繳納營業稅12萬元。

點評：在現實社會中，各種稅率是不一樣的。應納稅額的計算從根本上講是求一個數的百分之幾是多少。

例7、（和應納稅額有關的簡單實際問題）

王叔叔買了一輛價值16000元的摩托車。按規定，買摩托車要繳納10％的車輛購置稅。王叔叔買這輛摩托車一共要花多少錢？

分析與解：王叔叔買這輛摩托車所需的錢應包含購買價和10％的車輛購置稅兩部分，而車輛購置稅是占摩托車購買價的10％，可先算出要繳納的車輛購置稅。也可以這樣想：車輛購置稅占購買價的10％，把購買價看作單位“1”，王叔叔買這輛摩托車所需的錢相當于購買價的（1 10％），即求16000元的110％是多少，也用乘法計算。

方法1：16000 ×10％ 16000 = 1600 16000 = 17600（元）

方法2：16000 ×（1 10％） = 16000 ×1.1 = 17600（元）

答：王叔叔買這輛摩托車一共要花17600元錢。

例8、揚州某風景區2007年“十一”黃金周接待遊客9萬人次，門票收入達270

萬元。按門票的5％繳納營業稅計算，“十一”黃金周期間應繳納營業稅0.45萬元。

分析與解：營業稅是按門票的5％繳納，是占門票收入的5％，而不是占遊客人數的5％

答：“十一”黃金周期間應繳納營業稅13.5萬元。

模拟試題

一、填空。

1、籃球個數是足球的125％，籃球比足球多（ ）％，足球個數是籃球的（ ）％，足球個數比籃球少（ ）％。

2、排球個數比籃球多18％，排球個數相當于籃球的（ ）％。

3、足球個數比籃球少20％。排球個數比籃球多18％，（ ）球個數最多，（ ）球個數最少。

4、果園裡種了60棵果樹，其中36棵是蘋果樹。蘋果樹占總棵數的（ ）％，其餘的果樹占總棵數的（ ）％。

5、女生人數占全班的百分之幾 = （ ）÷ （ ）

楊樹的棵數比柏樹多百分之幾 = （ ）÷ （ ）

實際節約了百分之幾 = （ ）÷ （ ）

比計劃超産了百分之幾 = （ ）÷ （ ）

6、20的40％是（ ），36的10％是（ ），50千克的60％是（ ）千克，800米的25％是（ ）米。

7、進口價ａ元的一批貨物，稅率和運費都是貨物價值的10％，這批貨物的成本是（ ）元。

二、解決實際問題

1、白兔有25隻，灰兔有30隻。灰兔比白兔多百分之幾？

2、四美食鹽廠上月計劃生産食鹽450噸，實際生産了480噸。實際比計劃多生産了百分之幾？

3、小明家八月份用電80千瓦時，小亮家比小明家節約10千瓦時，小亮家比小明家八月份節約用電百分之幾？

4、某化肥廠9月份實際生産化肥5000噸，比計劃超産500噸。比計劃超産百分之幾？

5、藍天帽業廠去年收入總額達900萬元，按國家的稅率規定，應繳納17％的增值稅。一共要繳納多少萬元的增值稅？

6、爸爸買了一輛價值12萬元的家用轎車。按規定需繳納10％的車輛購置稅。爸爸買這輛車共需花多少錢？

（二）

主要内容：

應用百分數解決實際問題：利息、折扣問題

學習目标：

1、了解儲蓄的含義。

2、理解本金、利率、利息的含義。

3、掌握利息的計算方法，會正确地計算存款利息。

4、進一步掌握折扣的有關知識及計算方法。

5、使學生進一步積累解決問題的經驗，增強數學的應用意識。

考點分析

1、存入銀行的錢叫做本金，取款時銀行除還給本金外，另外付給的錢叫做利息，利息占本金的百分率叫做利率。

2、利息=本金×利率×時間。

3、幾折就是十分之幾，也就是百分之幾十。

4、商品現價 = 商品原價 × 折數。

四、典型例題

例1、（解決稅前利息）李明把500元錢按三年期整存整取存入銀行，到期後應得利息多少元？

分析與解：根據儲蓄年利率表，三年定期年利率5.22％。

稅前應得利息 = 本金 × 利率 × 時間

500 × 5.22％ × 3 = 78.3（元）

答：到期後應得利息78.3元。

例2、（解決稅後利息）

根據國家稅法規定，個人在銀行存款所得的利息要按5％的稅率繳納利息稅。例1中納稅後李明實得利息多少元？

分析與解：從應得利息中扣除利息稅剩下的就是實得利息。

稅後實得利息 = 本金 × 利率 × 時間 ×（1 - 5％）

500 × 5.22％ × 3 = 78.3（元） …… 應得利息

78.3 × 5％ = 3.915（元） …… 利息稅

78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39（元） …… 實得利息

或者 500 × 5.22％ × 3 × （1 - 5％） = 74.385（元）≈ 74.39（元）

答：納稅後李明實得利息74.39元。

例3、方明将1500元存入銀行，定期二年，年利率是4.50％。兩年後方明取款時要按5％繳納 利息稅，到期後方明實得利息多少元？

錯誤解答：1500 × 4.50％ ×（1 - 5％） = 64.125（元）≈ 64.13（元）

分析原因：稅後實得利息 = 本金 × 利率 × 時間 ×（1 - 5％），這裡漏乘了時間。

正确解答：1500 × 2 × 4.50％ ×（1 - 5％） = 128.25（元）

答：到期後方明實得利息128.25元。

點評：求利率根據實際情況有時要扣掉利息稅，根據國家規定利息稅的稅率是5％，所以利息分稅前利息和稅後利息，在做題時要注意區分。但也有一些是不需要繳利息稅的，比如：國家建設債券、教育儲蓄等。

例4、（求折扣）一本書現價6.4元，比原價便宜1.6元。這本書是打幾折出售的？

分析與解：打了幾折是求實際售價是原價的百分之幾，隻要用實際售價除以原價。

6.4 1.6 = 8（元）

6.4 ÷ 8 = 80％ = 八折

答：這本書是打八折出售的。

點評：幾折就是百分之幾十，幾幾折就是百分之幾十幾，同一商品打的折數越低，售價也就越低。在折數的題目中，打幾折就是按原價的百分之幾十出售，它并不代表增加或減少的數額。

例5、（已知折扣求原價）

“國慶”商場促銷，一套西服打八五折出售是1020元，這套西服原價多少元？

分析與解：打八五折出售，即實際售價相當于原價的85％。已知原價的85％是1020元，要求原價是多少，可以列方程解答。

原價 × 85％ = 實際售價

解：設這套西服原價ｘ元。

ｘ × 85％ = 1020

ｘ = 1020 ÷ 85％

ｘ = 1200

檢驗：（1）用現價除以原價看是否打了八五折。

1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85％

（2）看原價的85％是不是1020元。

1200 × 85％ = 1020（元）

經檢驗，答案符合題意。

答：這套西服原價1200元。

例6、一台液晶電視6000元，若打七五折出售，可降價2000元。

分析原因：6000元為原價，打七五折出售，要先算出實際售價再相減，或者先算出降價部分占原價的25％。

正确解答：6000 - 6000×75％ = 1500（元）

或6000×（1 - 75％） = 1500（元）

答：可降價1500元。

例7、（和應納稅額有關的簡單實際問題）

一批電冰箱，原來每台售價2000元，現促銷打九折出售，有一顧客購買時，要求再打九折，如果能夠成交，售價是多少元？

分析與解：“促銷打九折出售”就是按原價的百分之九十出售，用“原價×90％”，“再打九折”是在促銷價的基礎上打九折，要用促銷價乘90％。

2000× 90％ × 90％

= 1800× 90％

= 1620（元）

答：如果能夠成交，售價是1620元。

點評：題目的關鍵是“再打九折”表示的意思是在促銷價的基礎上再打九折，單位“1”的量是促銷價，即原價打九折後的價錢，這是易錯點，要多加注意。

例8、（考點透視）

商店以40元的價錢賣出一件商品，虧了20％。這件商品原價多少元，虧了多少元？

分析與解：以40元的價錢賣出，說明實際售價是40元；虧了20％，即虧了原價的20％，因此實際售價相當于原價的（1 - 20％）。

解：設這件商品原價ｘ元。

ｘ × （1 - 20％） = 40

ｘ × 80％ = 40

ｘ = 50

50 × 20％ = 10（元）

答：這件商品原價50元，虧了10元。

例9、（考點透視）

某商店同時賣出兩件商品，每件各得30元，其中一件盈利20％，另一件虧本20％。這個商店賣出這兩件商品總體上是盈利還是虧本？具體是多少？

分析與解：盈利20％，即售出價是成本價的（1 20％）；虧本20％，即售出價是成本價的（1 - 20％）。兩件商品的售出價都是30元，可分别算出兩件商品的成本價。

30 ÷（1 20％）= 25（元）

30 ÷（1 - 20％）= 37.5（元）

25 37.5 = 62.5（元）

62.5 – 60 = 2.5（元）

答：這個商店賣出這兩件商品總體上是虧本，虧本2.5元。

模拟試題

1、李叔叔于2000年1月1日在銀行存了活期儲蓄1000元，如果每月的利率是0.165％，存款三個月時，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元?

2、叔叔今年存入銀行10萬元，定期二年，年利率4.50% ，二年後到期，扣除利息稅5% ，得到的利息能買一台6000元的電腦嗎？

3、小華媽媽是一名光榮的中國共産黨員，按黨章規定，工資收入在400-600元的，每月黨費應繳納工資總額的0.5%，在600-800元的應繳納1%，在800-1000元的，應繳納1.5%，在1000以上的應繳納2%，小華媽媽的工資為2400元，她這一年應繳納黨費多少元？

4、填空：

八折=（ ）% 九五折=（ ）%

40% =（ ）折 75% = （ ）折

5、隻列式不計算。

①買一件T恤衫，原價80元，如果打八折出售是多少元？

②有一種型号的手機，原價1000元，現價900元，打幾折出售？

③老師在商店裡花了56元錢買了一條牛仔褲，因為那兒的牛仔褲正在打七折銷售。這條牛仔褲原價多少元？

6、算出折數。

⑴在日常生活中打“折”現象随處可見。這兒有一家快餐店也在搞促銷，你能算出這些美食分别打幾折嗎？每人可任選一種計算一下。

①食品原價4元，現價3元。

②食品原價5元，現價4元。

③食品原價10元，現價7元。

7、常熟新開了一家永樂生活電器，“十·一”節日期間，那裡的商品降價幅度很大。有一種款式的MP3，原價280元，現在打三折出售。根據這個信息，你想計算什麼？

①現價多少元？

②現價比原價便宜了多少元？

改編：（1）有一種款式的MP3，打三折出售是84元，原價多少元？

（2）有一種款式的MP3，打三折出售比原價便宜了196元，原價多少元？

8、一種礦泉水，零售每瓶賣2元，生産廠家為感謝廣大顧客對産品的厚愛，特開展“買四贈一”大酬賓活動，生産廠家的做法優惠了百分之幾？ (注意解題策略的多樣性。)

9、一輛自行車200元，在原價基礎上打八折，小明有貴賓卡，還可以再打九折，小明買這輛車花了多少錢？

10、小紅在書店買了兩本打八折出售的書，共花了12元，小紅買這兩本書便宜了多少錢。

（三）

主要内容

列方程解稍複雜的百分數實際問題

學習目标

1、引導學生在已學會的一些基本的百分數實際問題的基礎上，引出列方程解一些稍複雜的百分數實際問題的方法。

2、能根據題中的信息，熟練地找出基本的數量關系，培養學生的分析解題能力。

3、通過練習，溝通百分數和分數的聯系，提高學生解決相關問題的能力。

考點分析

1、解答稍複雜的百分數應用題和稍複雜的分數應用題的解題思路、解題方法完全相同。

2、用字母或含有字母的式子表示題中兩個未知的數量，找出數量間的相等關系。根據求一個數的百分之幾是多少用乘法列方程求解，或者根據除法的意義，直接解答。

3、“已知比一個數多（少）百分之幾的數是多少，求這個數”的實際問題，可以根據數量間的相等關系列方程求解；或者根據除法的意義，直接解答。

4、靈活運用本單元所學知識，、解決稍複雜的百分數實際問題，溝通分數、百分數應用題之間的聯系。

典型例題

例1、（列方程解答和倍問題）

一根繩子長48米，截成甲、乙兩段，其中乙繩長度是甲繩的60％。甲、乙兩繩各長多少米？

分析與解：乙繩長度是甲繩的60％，把甲繩長度看作單位“1”。

ｘ米

甲繩

¦

（ ）米 ¦ 48米

乙繩

乙繩是甲繩的60％

等量關系式：甲繩長度 乙繩長度 = 總長度

解答：設甲繩長ｘ米，則乙繩長60％ｘ米。

ｘ 60％ｘ = 48

1.6ｘ = 48

ｘ = 30

60％ｘ = 30 × 60％ = 18

答：甲繩長30米，則乙繩長18米。

檢驗：30 18 = 48（米），符合甲、乙兩繩共長48米。

18 ÷ 30 = 60％，符合乙繩長度是甲繩的60％。

例2、（列方程解答差倍問題）

體育館内排球的個數是籃球的75％，籃球比排球多6個。籃球和排球各有多少個？

分析與解：排球的個數是籃球的75％，是把籃球個數看作單位“1”。

ｘ個

籃球

¦

（）個 ¦多6個

排球

排球的個數是籃球的75％

等量關系式：籃球 – 排球 = 6個

解答：設籃球有ｘ個，則排球有75％ｘ個。

ｘ - 75％ｘ = 6

0.25ｘ = 6

ｘ = 24

75％ｘ = 24 × 0.75 = 18

答：籃球有24個，排球有18個。

你會自己檢驗嗎？

檢驗：24 - 18 = 6（個），符合籃球比排球多6個。

18 ÷ 24 = 75％，符合排球的個數是籃球的75％。

點評：在列方程解答和倍、差倍問題的題目時，要注意找準單位“1”的量，通常情況下設單位“1”的量為ｘ，再用另一個量和單位“1”之間的關系，用含有ｘ的式子表示出另一個量，最後根據它們的和或差列出方程。

例3、六年級男生比女生少40人，六年級女生人數相當于男生人數的140％，六年級男生有多少人？

錯誤解法：設：女生有ｘ人，男生就有140％ｘ人。

140％ｘ - ｘ = 40

0.4ｘ = 40

ｘ = 100

140％ｘ = 100 × 1.4 = 140

分析與解：根據“六年級女生人數相當于男生人數的140％”，可以把男生人數看作單位“1”的量，設男生人數為ｘ人，女生人數就是140％ｘ人，再根據“六年級男生比女生少40人”，可以得出數量關系式：“女生人數 – 男生人數 = 40”，根據此數量關系式列出方程。

正确解答：設男生有ｘ人，女生就有140％ｘ人。

140％ｘ - ｘ = 40

0.4ｘ = 40

ｘ = 100

答：男生有100人。

點評：解錯此題的原因是單位“1”的量找錯了，要記住找單位“1”的量時候，首先要去找分率（百分率），因為沒有分率就沒有單位“1”的量，就不能看到“比”，而“比”後面的那個量就是單位“1”的量。

例4、（列方程解決“已知比一個數少百分之幾的數是多少，求這個數”的百分數實際問題）

白兔有36隻，比灰兔少20％。灰兔有多少隻？

分析與解：白兔比灰兔少20％，把灰兔看作單位“1”。

?隻

灰兔

¦

36隻 ¦

白兔 

比灰兔少20％

等量關系式：灰兔的隻數 – 白兔比灰兔少的隻數 = 白兔的隻數

解答：設灰兔有ｘ隻。

ｘ - 20％ｘ = 36

0.8ｘ = 36

ｘ = 45

答：灰兔有45隻。

檢驗：45 – 45 × 20％ = 36 或 （45 – 36）÷ 45 = 20％，符合題意。

例5、（列方程解決“已知比一個數多百分之幾的數是多少，求這個數”的百分數實際問題）

白兔有48隻，比灰兔多20％。灰兔有多少隻？

分析與解：白兔比灰兔多20％，把灰兔看作單位“1”。

?隻

灰兔

¦比灰兔多20％

¦

白兔

48隻

等量關系式：灰兔的隻數 白兔比灰兔多的隻數 = 白兔的隻數

解答：設灰兔有ｘ隻。

ｘ 20％ｘ = 48

1.2ｘ = 48

ｘ = 40

答：灰兔有40隻。

檢驗：40 40 × 20％ = 48 或 （48 – 40）÷ 40 = 20％，符合題意。

點評：和前面例題一樣，都是去求單位“1”的量。在解題時同樣要注意找準單位“1”的量，看問題求什麼，确定用什麼方法計算。

例6、（難點突破）

某商品如果按現價18元出售，則虧了25％，原來成本是多少元？如果想盈利25％，應按多少元出售該商品？

分析與解：不管是虧25％，還是盈利25％，單位“1”都是這件商品的成本。所以要先求這件商品的成本。18元虧25％，說明18元比成本少25％，即是成本的（1 - 25％）。盈利25％，說明盈利的是原來成本的25％，實際售價是原來成本的（1 25％）。

解答：設原來成本是ｘ元。

ｘ - 25％ｘ = 18

0.75ｘ = 18

ｘ = 24

24 × （1 25％） = 30（元）

答：原來成本是24元，應按30元出售該商品。

點評：通常情況下，商品的盈利和虧損都是以成本作單位“1”的 。解答這道題目的關鍵是确定好單位“1”，這也是解百分數應用題時最重要的。

例7、（考點透視）

水果批發部要運進一批水果，第一次運進總量的22％，第二次運進1.5噸，兩次共運進這批水果的62％，這批水果一共有多少噸？

分析與解：根據題意可以畫出下面的線段圖：

62％

第一次22％ 1.5噸

“1”? 噸

從圖中可以看出：兩次一共運的噸數 - 第一次運的噸數 = 1.5噸，單位“1”的量是這批水果的總噸數，設這批水果一共有ｘ噸，那麼兩次一共運了62％ｘ噸，第一次運進了22％ｘ噸。

解：設這批水果一共有ｘ噸。

62％ｘ - 22％ｘ = 1.5

40％ｘ = 1.5

ｘ = 3.75

答：這批水果一共有3.75噸。

點評：在解答稍複雜的百分數應用題時，要學會畫線段圖，它的好處是：使題目的條件變得簡潔，找數量關系式時更加容易、方便。畫圖的時候，要先找準單位“1”的量，用一根線段表示出單位“1”的量之後，再去表示其他的量。

模拟試題

一、基本訓練：

1、找出下列各題中的單位“1”。

①男生人數占女生人數60%。

②男生人數比女生人數多20%。

③女生人數比男生人數少25%。

④加工一批零件，已完成了80%。

⑤今年的豬肉單價比去年上漲了80%。

2、根據所給信息，說出數量間的相等關系

①一條路，已修了全長的60%

②一種彩電，現價比原價降低10%

③松樹的棵數比柏樹多3(1)

3、看圖列式。

用去30% ? 隻

灰兔 比灰兔多25%

用去 ? 噸 還剩28噸 白兔

30隻

4、列式計算：

（1）一個數的75%比30的25%多1.5，求這個數。

（2）一個數的25%比它的75%少30，求這個數。

二、解決問題：

1、對比練習

（1）某工廠六月份用煤60噸，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少噸？

（2）某工廠六月份用煤60噸，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少噸？

2、一張課桌比一把椅子貴10元，如果椅子的單價是課桌單價的60%，課桌和椅子的單價各是多少元？

3、果園裡的梨樹和蘋果樹共有360棵，其中的蘋果樹的棵樹是梨樹的棵樹的20%。蘋果樹和梨樹各有多少棵？

4、一套桌椅的價格是78元，其中椅子的價格是桌子的30%。桌子和椅子的價格各是多少元？

5、一條繩子，第一次剪去全長的25%，第二次剪去全長的35%，兩次共剪去6米，這條繩子共長多少米？

6、一條繩子，第一次剪去全長的25%，第二次剪去全長的35%，第二次比第一次多剪了1米，這條繩子長多少米？

7、根據問題列式。

平山茶場去年原計劃種茶20公頃，實際種茶25公頃，________?

①實際種茶的公頃數是原計劃的百分之幾？

②計劃種茶的公頃數是實際的百分之幾？

③實際種茶的公頃數比原計劃多百分之幾？

④計劃種茶的公頃數比實際少百分之幾？

8、根據算式填條件

果園裡有蘋果樹200棵， ，梨樹有多少棵？

①200÷20%

②200×20%

③200÷（1 20%）

④200÷（1-20%）

⑤200×（1-20%）

⑥200×（1 20%）

（四）

主要内容

圓柱和圓錐的認識、圓柱的表面積

學習目标

1、使學生在觀察、操作、交流等活動中感知和發現圓柱、圓錐的特征，知道圓柱和圓錐的底面、側面和高。

2、使學生理解圓柱側面積和圓柱表面積的含義，掌握圓柱側面積和表面積的計算方法。

3、使學生在活動中進一步積累認識立體圖形的學習經驗，增強空間觀念，發展數學思考。

4、使學生進一步體驗立體圖形與生活的關系，感受立體圖形的學習價值，提高學習數學的興趣和學好數學的信心。

考點分析

1、圓柱上、下兩個面叫做圓柱的底面，它們是完全相同的兩個圓。形成圓柱的面還有一個曲面，叫做圓柱的側面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做圓柱的高。

2、圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是一個曲面。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

3、把圓柱的側面展開得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。

4、圓柱的側面積 = 底面周長 × 高

5、圓柱的表面積 = 側面積 底面積 × 2

典型例題

例1、（圓柱和圓錐的特征）圓柱和圓錐分别有什麼特點？

分析與解：長方體和正方體的六個面都是平面圖形（長方形或正方形），而圓柱和圓錐除了底面是平面圖形（圓）外，都有一個曲面。圓柱和圓錐的特征見下表。

例2、求下面立體圖形的底面周長和底面積。

半徑3厘米 直徑10米

分析與解：根據圓的面積和周長計算公式計算圓柱和圓錐的底面周長和底面積。

圓柱：底面周長 3.14 × 3 × 2 = 18.84（厘米）

底面積 3.14 × 3 ² = 28.26（平方厘米）

圓錐：底面周長 3.14 × 10 = 31.4（米）

底面積 3.14 ×（10÷2）² = 78.5（平方米）

點評：圓柱和圓錐的底面都是圓，在計算它們的周長和面積時隻要按照圓的周長和面積計算公式進行計算。

例3、判斷：圓柱和圓錐都有無數條高。

錯誤解法：正确

分析與解：圓柱有無數條高，圓錐隻有一條高。

正确解答：錯誤

點評：圓柱兩個底面之間的距離叫做圓柱的高。兩個底面之間有無數個對應的點，圓柱有無數條高。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。頂點和底面圓心都是唯一的點，所以圓錐隻有一條高。

例4、（圓柱的側面積）體育一個圓柱，底面直徑是5厘米，高是12厘米。求它的側面積。

分析與解：

高

底面周長

沿着圓柱側面的一條高剪開，将側面展開，就得到一個長方形。這個長方形的長等于圓柱底面的周長，寬等于圓柱的高。因此，用圓柱的底面周長乘圓柱的高就得到這個長方形的面積，即圓柱的側面積。

解答： 3.14 × 5 × 12 = 188.4（平方厘米）

答：它的側面積是188.4平方厘米。

點評：圓柱的側面是個曲面，不能直接求出它的面積。推導出側面積的計算公式也用到了轉化的思想。把這個曲面沿高剪開，然後平展開來，就能得到一個長方形，這個長方形的面積就是這個圓柱的側面積。

例5、（圓柱的表面積）

做一個圓柱形油桶，底面直徑是0.6米，高是1米，至少需要多少平方米鐵皮？（得數保留整數）

分析與解：求鐵皮的面積，就是求圓柱形油桶的表面積，即兩個底面積和一個側面積的和。

解答：底面積：3.14 ×（0.6÷2）² = 0.2826（平方米）

側面積：3.14 × 0.6 × 1 = 1.884（平方米）

表面積：0.2826 × 2 1.884 = 2.4492（平方米）≈ 3（平方米）

答：至少需要鐵皮3平方米。

點評：這裡不能用四舍五入法取近似值。因為在實際生活中使用的材料要比計算得到的結果多一些。因此這兒保留整數，十分位上雖然是4，但也要向個位進1。

例6、（辨析）一個無蓋的圓柱鐵皮水桶，底面直徑是30厘米，高是50厘米。做這樣一個水桶，至少需用鐵皮6123平方厘米。

分析與解：題目中是做一個無蓋的圓柱鐵皮水桶，隻有一個底面。在計算鐵皮面積時隻要用圓柱的側面積加上一個底面的面積。

解答：底面積：3.14 ×（30÷2）² = 706.5（平方厘米）

側面積：3.14 × 30 × 50 = 4710（平方厘米）

表面積：706.5 4710 = 5416.5（平方厘米）

答：做這樣一個水桶，至少需用鐵皮5416.5平方厘米。

例7、（考點透視）一個圓柱的側面積展開是一個邊長15.7厘米的正方形。這個圓柱的表面積是多少平方厘米？

分析與解：圓柱的側面積展開是一個正方形，即圓柱的高和底面周長都是15.7厘米。根據圓柱的底面周長可以算出底面積。

解答：底面半徑：15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5（厘米）

底面積：3.14 × 2.5 ² = 19.625（平方厘米）

側面積：15.7 × 15.7 = 246.49（平方厘米）

表面積：19.625 × 2 246.49 = 285.74（平方厘米）

答：這個圓柱的表面積是285.74平方厘米。

例8、（考點透視）一個圓柱形的遊泳池，底面直徑是10米，高是4米。在它的四周和底部塗水泥，每千克水泥可塗5平方米，共需多少千克水泥？

分析與解：要求水泥的質量，先要求水泥的面積。在圓柱形的遊泳池的四周和底部塗水泥，塗水泥的面積是一個底面積加上側面積。

解答：

側面積：3.14 × 10 × 4 = 125.6（平方米）

底面積：3.14 × （10 ÷ 2）² = 78.5（平方米）

塗水泥的面積：125.6 78.5 = 204.1（平方米）

水泥的質量：204.1 ÷ 5 = 40.82（千克）

答：共需40.82千克水泥。

例9、（考點透視）把一個底面半徑是2分米，長是9分米的圓柱形木頭鋸成長短不同的三小段圓柱形木頭，表面積增加了多少平方分米？

分析與解：鋸圓柱形木頭，表面積增加的部分是若幹個相同的底面積。鋸成三段，要鋸兩次，每鋸一次增加兩個面，鋸了兩次增加了四個面。

3.14 × 2 ² × 4 = 50.24（平方分米）

答：表面積增加了50.24平方分米。

點評：這是一道在實際生活中應用的題目，對于這一類題目，它的規律就是每切一次就增加兩個面。但切的方式不同，增加的面也不同。如果是沿着底面直徑把圓柱切成相同的兩個部分，增加的面就是以底面直徑和高為兩鄰邊的長方形。

模拟試題

下面( )圖形旋轉會形成圓柱。

3、在下圖中，以直線為軸旋轉，可以得出圓錐的是（ ）。

4、求下列圓柱體的側面積

（1）底面半徑是3厘米，高是4厘米。

（2）底面直徑是4厘米，高是5厘米。

（3）底面周長是12.56厘米，高是4厘米。

5、求下列圓柱體的表面積

（1）底面半徑是4厘米，高是6厘米。

（2）底面直徑是6厘米，高是12厘米。

（3）底面周長是25.12厘米，高是8厘米。

6、用鐵皮制作一個圓柱形煙囪，要求底面直徑是3分米，高是15分米，制作這個煙囪至少需要鐵皮多少平方分米？（接頭處不計，得數保留整平方分米）

7、請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型号的鐵皮可供搭配選擇。

8、一個圓柱形蓄水池，底面周長是25.12米，高是4米，将這個蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？

參考答案：(一)

一、填空。

1、籃球個數是足球的125％，籃球比足球多（ 25 ）％，足球個數是籃球的（ 80 ）％，足球個數比籃球少（ 20 ）％。

2、排球個數比籃球多18％，排球個數相當于籃球的（ 118 ）％。

3、足球個數比籃球少20％。排球個數比籃球多18％，（ 排 ）球個數最多，（ 足 ）球個數最少。

4、果園裡種了60棵果樹，其中36棵是蘋果樹。蘋果樹占總棵數的（ 60 ）％，其餘的果樹占總棵數的（ 40 ）％。

5、女生人數占全班的百分之幾 = （ 女生人數 ）÷ （ 全班人數 ）

楊樹的棵數比柏樹多百分之幾 =（ 楊樹比柏樹多的棵數 ）÷ （ 柏樹棵數 ）

實際節約了百分之幾 = （ 節約的數量 ）÷ （ 計劃數量 ）

比計劃超産了百分之幾 = （ 超産産量 ）÷ （ 計劃産量 ）

6、20的40％是（ 8 ），36的10％是（ 3.6 ），50千克的60％是（ 30 ）千克，800米的25％是（ 200 ）米。

7、進口價ａ元的一批貨物，稅率和運費都是貨物價值的10％，這批貨物的成本是（ 1.2ａ ）元。

二、解決實際問題

1、白兔有25隻，灰兔有30隻。灰兔比白兔多百分之幾？

（30 - 25）÷ 25 = 20 ％

2、四美食鹽廠上月計劃生産食鹽450噸，實際生産了480噸。實際比計劃多生産了百分之幾？

（480 - 450）÷ 450 ≈ 6.7％

3、小明家八月份用電80千瓦時，小亮家比小明家節約10千瓦時，小亮家比小明家八月份節約用電百分之幾？

10 ÷ 80 = 12.5 ％

4、某化肥廠9月份實際生産化肥5000噸，比計劃超産500噸。比計劃超産百分之幾？

500 ÷ （5000 – 500） ≈ 11.1％

5、藍天帽業廠去年收入總額達900萬元，按國家的稅率規定，應繳納17％的增值稅。一共要繳納多少萬元的增值稅？

900 × 17％ = 153（萬元）

6、爸爸買了一輛價值12萬元的家用轎車。按規定需繳納10％的車輛購置稅。爸爸買這輛車共需花多少錢？

方法1：12 ×10％ 12 = 1.2 12 = 13.2（萬元）

方法2：12 ×（1 10％） = 12 ×1.1 = 13.2（萬元）

參考答案（二）：

1、李叔叔于2000年1月1日在銀行存了活期儲蓄1000元，如果每月的利率是0.165％，存款三個月時，可得到利息多少元?本金和利息一共多少元?

稅後利息：1000 × 0.165％ × 3 ×（1 - 5％）= 4.7025（元）≈ 4.70（元）

本金和利息：1000 4.70 = 1004.70（元）

2、叔叔今年存入銀行10萬元，定期二年，年利率4.50% ，二年後到期，扣除利息稅5% ，得到的利息能買一台6000元的電腦嗎？

稅後利息：100000 × 4.50％ × 2 ×（1 - 5％）= 8550（元）

8550 > 6000

答：得到的利息能買一台6000元的電腦。

3、小華媽媽是一名光榮的中國共産黨員，按黨章規定，工資收入在400-600元的，每月黨費應繳納工資總額的0.5%，在600-800元的應繳納1%，在800-1000元的，應繳納1.5%，在1000以上的應繳納2%，小華媽媽的工資為2400元，她這一年應繳納黨費多少元？

2400 × 2％ × 12 = 576（元）

4、填空：

八折=（ 80 ）% 九五折=（ 95 ）%

40% =（ 四 ）折 75% = （ 七五 ）折

5、隻列式不計算。

①買一件T恤衫，原價80元，如果打八折出售是多少元？ 80 × 80％

②有一種型号的手機，原價1000元，現價900元，打幾折出售？ 900 ÷ 1000

③老師在商店裡花了56元錢買了一條牛仔褲，因為那兒的牛仔褲正在打七折銷售。這條牛仔褲原價多少元？ 56 ÷ 70％

6、算出折數。

⑴在日常生活中打“折”現象随處可見。這兒有一家快餐店也在搞促銷，你能算出這些美食分别打幾折嗎？每人可任選一種計算一下。

①食品原價4元，現價3元。3 ÷ 4 = 0.75 = 75％ = 七五折

②食品原價5元，現價4元。4 ÷ 5 = 0.8 = 80％ = 八折

③食品原價10元，現價7元。7 ÷ 10 = 0.7 = 70％ = 七折

7、常熟新開了一家永樂生活電器，“十•一”節日期間，那裡的商品降價幅度很大。有一種款式的MP3，原價280元，現在打三折出售。根據這個信息，你想計算什麼？

①現價多少元？ 三折 = 30％ 280 × 30％ = 84（元）

②現價比原價便宜了多少元？ 280 – 84 = 196（元）

改編：（1）有一種款式的MP3，打三折出售是84元，原價多少元？

84 ÷ 30％ = 280（元）

（2）有一種款式的MP3，打三折出售比原價便宜了196元，原價多少元？

196 ÷ （1 - 30％）= 280（元）

8、一種礦泉水，零售每瓶賣2元，生産廠家為感謝廣大顧客對産品的厚愛，特開展“買四贈一”大酬賓活動，生産廠家的做法優惠了百分之幾？ (注意解題策略的多樣性。)

4 ÷ （4 1） = 0.8 = 80％ 1 - 80％ = 20％

9、一輛自行車200元，在原價基礎上打八折，小明有貴賓卡，還可以再打九折，小明買這輛車花了多少錢？

200 × 80％ × 90％ = 144（元）

10、小紅在書店買了兩本打八折出售的書，共花了12元，小紅買這兩本書便宜了多少錢。

12 ÷ 2 ÷ 80％ = 7.5（元） 7.5 × 2 – 12 = 3（元）

或 12 ÷ 80％ – 12 = 3（元）

參考答案（三）：

一、基本訓練：

1、找出下列各題中的單位“1”。

①男生人數占女生人數60%。 把女生人數看作單位“1”

②男生人數比女生人數多20%。 把女生人數看作單位“1”

③女生人數比男生人數少25%。 把男生人數看作單位“1”

④加工一批零件，已完成了80%。 把一批零件看作單位“1”

⑤今年的豬肉單價比去年上漲了80%。把去年的豬肉單價看作單位“1”

2、根據所給信息，說出數量間的相等關系

①一條路，已修了全長的60% 全長 × 60% = 已修

②一種彩電，現價比原價降低10% 原價 × 10% = 降價

原價 ×（1-10%）= 現價

③松樹的棵數比柏樹多3(1) 柏樹 × 3(1)= 松樹比柏樹多的棵數

柏樹 ×（1 3(1)）= 松樹

3、看圖列式。

用去30% ? 隻

灰兔 比灰兔多25%

用去 ? 噸 還剩28噸 白兔

28 ÷（1 - 30%）×30% = 12（噸） 30隻

ｘ 25％ｘ = 30

ｘ = 24

4、列式計算：

（1）一個數的75%比30的25%多1.5，求這個數。75％ｘ – 30 × 25% = 1.5

ｘ = 12

（2）一個數的25%比它的75%少30，求這個數。75％ｘ – 25%ｘ = 30

ｘ = 60

二、解決問題：

1、對比練習

（1）某工廠六月份用煤60噸，六月份比五月份少用煤25％，五月份用煤多少噸？

解：設五月份用煤ｘ噸。 ｘ – 25%ｘ = 60

ｘ = 80

（2）某工廠六月份用煤60噸，五月份比六月份多用煤25％，五月份用煤多少噸？

60 60 × 25% = 75（噸）

2、一張課桌比一把椅子貴10元，如果椅子的單價是課桌單價的60%，課桌和椅子的單價各是多少元？

解：設課桌的單價是ｘ元，椅子的單價是60%ｘ元。

ｘ – 60%ｘ = 10

ｘ = 25

25 × 60% = 15（元）或 25 – 10 = 15（元）

答：課桌的單價是25元，椅子的單價是15元。

3、果園裡的梨樹和蘋果樹共有360棵，其中的蘋果樹的棵樹是梨樹的棵樹的20%。蘋果樹和梨樹各有多少棵？

解：設梨樹的棵樹是ｘ棵，蘋果樹的棵樹是20%ｘ棵。

ｘ 20%ｘ = 360

ｘ = 300

300 × 20% = 60（棵）或 360 – 300 = 60（棵）

答：梨樹的棵樹是300棵，蘋果樹的棵樹是60棵。

4、一套桌椅的價格是78元，其中椅子的價格是桌子的30%。桌子和椅子的價格各是多少元？

解：設課桌的單價是ｘ元，椅子的單價是30%ｘ元。

ｘ 30%ｘ = 78

ｘ = 60

60 × 30% = 18（元）或 78 – 60 = 18（元）

答：課桌的單價是60元，椅子的單價是18元。

5、一條繩子，第一次剪去全長的25%，第二次剪去全長的35%，兩次共剪去6米，這條繩子共長多少米？

解：設這條繩子共長ｘ米。

25%ｘ 35%ｘ = 6

ｘ = 10

答：這條繩子共長10米。

6、一條繩子，第一次剪去全長的25%，第二次剪去全長的35%，第二次比第一次多剪了1米，這條繩子長多少米？

解：設這條繩子共長ｘ米。

35%ｘ - 25%ｘ = 1

ｘ = 10

答：這條繩子共長10米。

7、根據問題列式。

平山茶場去年原計劃種茶20公頃，實際種茶25公頃，________?

①實際種茶的公頃數是原計劃的百分之幾？ 25 ÷ 20 = 125%

②計劃種茶的公頃數是實際的百分之幾？ 20 ÷ 25 = 80%

③實際種茶的公頃數比原計劃多百分之幾？ （25 – 20） ÷ 20 = 25%

④計劃種茶的公頃數比實際少百分之幾？ （25 – 20） ÷ 25 = 20%

8、根據算式填條件

果園裡有蘋果樹200棵， ，梨樹有多少棵？

①200÷20% 蘋果樹是梨樹的20%

②200×20% 梨樹是蘋果樹的20%

③200÷（1 20%） 蘋果樹比梨樹多20%

④200÷（1-20%） 蘋果樹比梨樹少20%

⑤200×（1-20%） 梨樹比蘋果樹少20%

⑥200×（1 20%） 梨樹比蘋果樹多20%

參考答案（四）：

上圖上面從左到右依次是：底面、側面積

中間從左到右依次是：高、高

下面從左到右依次是：底面、底面周長、底面周長

下面( A )圖形旋轉會形成圓柱。

3、在下圖中，以直線為軸旋轉，可以得出圓錐的是（ ④ ）。

4、求下列圓柱體的側面積

（1）底面半徑是3厘米，高是4厘米。 3.14×3×2×4 = 75.36（厘米）

（2）底面直徑是4厘米，高是5厘米。 3.14×4×5 = 62.8（厘米）

（3）底面周長是12.56厘米，高是4厘米。12.56×4 = 50.24（厘米）

5、求下列圓柱體的表面積

（1）底面半徑是4厘米，高是6厘米。

底面積：3.14 × 4 ² = 50.24（平方厘米）

側面積：3.14 × 4 × 2 × 6 = 150.72（平方厘米）

表面積：50.24 × 2 150.72 = 251.2（平方厘米）

（2）底面直徑是6厘米，高是12厘米。

底面積：3.14 × （6÷2）² = 28.26（平方厘米）

側面積：3.14 × 6 × 12 = 226.08（平方厘米）

表面積：28.26 × 2 226.08 = 282.6（平方厘米）

（3）底面周長是25.12厘米，高是8厘米。

底面積：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（厘米）

3.14 × 4 ² = 50.24（平方厘米）

側面積：25.12 × 8 = 200.96（平方厘米）

表面積：50.24 × 2 200.96 = 301.44（平方厘米）

6、用鐵皮制作一個圓柱形煙囪，要求底面直徑是3分米，高是15分米，制作這個煙囪至少需要鐵皮多少平方分米？（接頭處不計，得數保留整平方分米）

側面積：3.14 × 3 × 15 = 141.3（平方分米）≈ 142（平方分米）

7、請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型号的鐵皮可供搭配選擇。

解法一：選擇①和④

底面積：3.14 × （3÷2）² = 7.065（平方分米）

側面積：9.42 × 2 = 18.84（平方分米）

表面積：7.065 × 2 18.84 = 32.97（平方分米）

解法二：選擇②和③

底面積：3.14 × （4÷2）² = 12.56（平方分米）

側面積：12.56 × 5 = 62.8（平方分米）

表面積：12.56 × 2 62.8 = 87.92（平方分米）

8、一個圓柱形蓄水池，底面周長是25.12米，高是4米，将這個蓄水池四周及底部抹上水泥。如果每平方米要用水泥20千克，一共要用多少千克水泥？

底面積：25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4（米）

3.14 × 4 ² = 50.24（平方米）

側面積：25.12 × 4 = 100.48（平方米）

表面積：50.24 100.48 = 150.72（平方米）

水泥質量： 150.72 × 20 = 3014.4千

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