祖暅原理

祖暅（中國南北朝時期數學家、天文學家，祖沖之之子），沿用了劉徽的思想，利用劉徽“牟合方蓋”的理論去進行體積計算，得出“幂勢既同，則積不容異”的結論。 “幂勢既同，則積不容異”。“幂”是截面積，“勢”是立體的高。是指兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等。也就是界于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等。

注：牟合方蓋

當一正立方體用圓柱從縱橫兩側面作内切圓柱體時，兩圓柱體的公共部分。劉徽在他的注中對“牟合方蓋”有以下的描述：

“取立方棋八枚，皆令立方一寸，積之為立方二寸。規之為圓囷，徑二寸，高二寸。又複橫規之，則其形有似牟合方蓋矣。八棋皆似陽馬，圓然也。按合蓋者，方率也。丸其中，即圓率也。”

高中數學中祖暅原理的命題方式

1、與立體幾何三視圖結合

A．158 B．162 C．182 D．32

本題首先根據三視圖，本質上和祖暅原理關聯不大，還原得到幾何體—棱柱，根據題目給定的數據，計算幾何體的體積.常規題目.難度不大，注重了基礎知識、視圖用圖能力、基本計算能力的考查.

由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個直角梯形組合而成的，其中一個上底為4，下底為6，高為3，另一個的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為

2、祖暅原理的理解

① 祖暅原理：“幂勢既同，則積不容異”，它是中國古代一個涉及幾何體體積的原理，意思是兩個等高的幾何體，若在同高處的截面積恒相等，則體積相等．設A，B為兩個等高的幾何體，P：A，B的體積相等．q:A,B在同高處的截面積恒相等．根據祖暅原理可知，P是q的（ ）

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

3、求體積

一般上海高考試題和模拟試題出現較多

先根據橢圓方程,構造一個底面半徑為2,高為3的圓柱,通過計算可知高相等時截面面積相等,因而由祖暅原理可得橄榄球幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.

② 【2019·黑龍江高考模拟】我國南北朝時期的數學家祖暅提出了計算幾何體體積的祖暅原理：“幂勢既同，則積不容異”.意思是兩個同高的幾何體，如果在等高處的截面積都相等，那麼這兩個幾何體的體積相等.現有同高的三棱錐和圓錐滿足祖暅滿足祖暅原理的條件.若圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓，由此推算三棱錐的體積為 （ ）

先構造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，然後在圓柱内挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據祖暅原理得出橢球的體積。

解：橢圓的長半軸長為a，短半軸長為b，先構造兩個底面半徑為b，高為a的圓柱，

然後在圓柱内挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐，根據祖暅原理得出橢球的體積為

祖暅原理未完，接續更新

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