文章來源，公衆号：初中數學題

01 認識模型

瓜豆原理，中國有句古話：種瓜得瓜種豆得豆。

例1，如下圖，點P是一個定點，點A是圓O上一個動點，連接PA作線段PB⊥PA，且使PB=PA。如果A點的運動軌迹是圓，那麼B點的運動軌迹也是圓。

例2，如下圖，點P是定點，點A是直線L上的動點，連接PA作線段PB⊥PA，且使PB=PA。如果A點的運動軌迹是直線，那麼B點的運動軌迹也是直線。即種瓜得瓜種豆得豆。

這兩個例子中，都有一個定點P，一個主動點A，從動點B随着點A的變化而變化。

如果A點的運動軌迹是直線，那麼B點的運動軌迹也是直線(種線得線)；如果A點的運動軌迹是圓，那麼B點的運動軌迹也是圓(種圓得圓)。即種瓜得瓜種豆得豆，所以形象的稱為瓜豆原理。

02 确定模型

上面的例子中有很多條件，例如PB⊥PA，PB=PA等，那麼具體哪些條件可以确定它符合瓜豆原理呢？

對于一個定點P，一個主動點A，一個從動點B。确定是否符合瓜豆原理，隻需要判斷下面兩點。

①夾角∠APB固定

例如上面兩個例子裡這個夾角都是固定的90度。即使特殊情況，夾角是0度，即三點在一條直線上也是符合條件的。

②兩邊比例(PA:PB)固定

例如上面兩個例子裡，PA:PB=1。

練習一下，如下圖，點P是定點，點A是圓O上的動點，連接PA，B是PA的中點，問點B的運動軌迹是什麼？

定點P，主動點A，從動點B

按照上面的方法，①夾角∠APB=0°，固定。②兩邊比例PA:PB=2，固定。

大功告成，符合瓜豆原理，所以點B的運動軌迹也是圓(圖中虛線的圓)。

所以，隻需抓住這兩點就可以判斷是否符合瓜豆原理，非常簡單吧。

03 模型原理

我們把核心的内容抽出來研究一下，如下圖。定點P，主動點A，從動點B。點A沿直線運動到A′時，點B沿直線運動到B′。

瓜豆原理的條件：∠APB=∠A′PB′=α，PA:PB=PA′:PB′=k。

因為∠APB=∠A′PB′=α，都減去公共角∠A′PB，得到∠APA′=∠BPB′；

PA:PB=PA′:PB′，所以△APA′∽△BPB′。

即瓜豆原理的核心是△APA′與△BPB′相似(特殊情況是全等)，即動态相似。如果是解答題或證明題，不能直接應用瓜豆原理的結論，可以很自然的想到構造三角形相似(全等)。

04 結論

瓜豆原理的結論是：從動點的運動軌迹與主動點的運動軌迹一緻。

(一)軌迹是直線的情況

可以得到結論：

①AA′:BB′=PA:PB

②兩運動軌迹直線的夾角等于條件中的定角，即∠ACB=∠APB

(二)軌迹是圓的情況

可以得到結論：

①P到兩個圓心的距離比，兩圓的半徑比都等于PA:PB(定值)。即PA:PB=PM:PN=MA:NB

②定點與圓心連線夾角等于條件中的定角，即∠MPN=∠APB

以上這些是經常用到的結論，大家一定要熟悉(有興趣的同學可以自己證明)。

05 抽圖訓練

利用瓜豆原理快速确定從動點的運動軌迹。關鍵是判斷條件是否符合瓜豆原理。下面舉一些例子，大家練習一下瓜豆原理的判定，如果圖形複雜，可以把定點，主動點，從動點抽圖來确認條件(題目中用顔色表示)。篇幅有限，隻給出軌迹。

例1，在平面直角坐标系中，正方形AOCB，點A(0，3)，點D為x軸上一動點，以AD為邊在AD的右側作等腰RT△ADE，∠ADE=90°，連接OE，則OE的最小值是( )。

确認模型：定點A，主動點D，從動點E。确認條件：

①夾角∠ADE=90°(固定)

②兩邊比例AE:ED=√2(固定)

參照下圖，點E的軌迹與點D相同，是一條直線(可以找兩個特殊點來确定直線位置)。參考答案：3√2/2。

例2，在平面直角坐标系中，已知點A(4，0)，點B為y軸正半軸上一動點，連接AB，以AB為一邊向下作等邊△ABC，連接OC，則OC的最小值是( )。

确認模型：定點A，主動點B，從動點C。确認條件：

①夾角∠BAC=60°(固定)

②兩邊比例AB:AC=1(固定)

參照下圖，點C的軌迹與點B相同，是一條射線去掉端點(因為y軸正半軸不包含原點O，可以找兩個特殊點來确定位置)。參考答案：2。

例3，在直角△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=12，點D為AC中點，點P為AB上的動點，将點P繞點D逆時針旋轉90°得到點Q，連接CQ，則線段CQ的最小值是( )。

确認模型：定點D，主動點P，從動點Q。确認條件：

①夾角∠PDQ=90°(固定)

②兩邊比例DP:DQ=1(固定)

參照下圖，點Q的軌迹與點P相同，是一條線段(可以找兩個特殊點來确定位置，易知軌迹與AC平行，即求平行線間距離)。參考答案：6。

例4，在△ABC中，AB=4，AC=2，以BC為邊在△ABC外作正方形BCDE，BD與CE交于點O，則線段AO的最大值是( )。

确認模型：定點B，主動點C，從動點O。确認條件：

①夾角∠CBO=45°(固定)

②兩邊比例BC:BO=√2(固定)

點C的軌迹是以點A為圓心，半徑為2的圓。

點O的軌迹是以點P為圓心，半徑為√2的圓(半徑比也是√2)。

根據結論∠ABP=45°，AB:BP=√2(可以确定點P的位置)。

所以△ABP是等腰直角三角形，AP=BP=2√2

當A，P，O共線時AO最大：AP PO=3√2

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