在數學史上，微積分的創立是繼Euclid幾何之後的最偉大的創造之一。微積分首先解決了當時17世紀的四類科學問題：1.已知加速度-時間函數，求物體的速度和移動距離；2.求曲線的切線；3.求函數的最值；4.求曲線弧長，曲線圍成的面積等。

今天，我們就來學習微積分中的微分與導數。

第1節，講微分和導數的概念：

• 設f(x)在鄰域U(x0)中有定義，當給一個增量Δx，滿足Δx x0 ∈U(x0)時，可以得到函數的增量Δy=f(Δx x0)-f(x0)，如果存在與Δx無關的常數A ,使得可以表示為Δy=A*Δx o(Δx)，那麼就說f(x)在點x0可微，A*Δx是函數在x0的微分，記作dy|x=x0 = A*Δx。我們可以看出，微分是一個增量的線性函數，微分dy 與增量Δy 與高階無窮小o(Δx)存在關系：Δy = dy o(Δx)。注意這裡可微是點态的
• 可微-連續定理：若f(x)在x0可微，則函數在x0連續。
• 設f(x)在鄰域U(x0)中有定義，若極限 lim [(f(x0 Δx)-f(x0))/Δx] Δx->0 存在，則稱f(x)在點x0可導，該極限值稱為函數在x0的 導數，記作f`(x0)。這裡的定義也是點态的。
• 可以看出，極限，溝通了可導與可微，lim Δy/Δx Δx->0 = lim {A*Δx o(Δx))/Δx =A Δx->0
• 導數是是通過極限來描述的，極限分左極限和右極限，不難得出，導數分為左導數和右導數，左右導數統稱為單側導數
• 導數存在定理：導數f`(x0)存在 <==> 該點的左右導數都存在且相等，即 f`-(x0) = f` (x0)
• 可微-可導定理：f(x)在x0可微 <==> f(x）在x0可導，且 A=f`(x0)；即是 Δy=f`(x0)Δx o(Δx), 有限增量公式
• 根據可微-連續定理 和 可微-可導，得出：若f在x0可導，則在x0處連續。反映了可微，可導，連續的關系。
• 導函數，簡稱導數：若函數f 在區間I每一點都可導，則稱f在I上的可導函數。提醒，每一點可導，可以推出每一點連續，可以得出一緻連續，即在I上的可導函數，是I上的一緻連續函數，注意與之前的知識連續，連續性與導數，微分關系密切。

第2節，講求導方法和導數公式：

• 定義法求導：lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x->x0
• 導數的四則運算，與函數極限的四則運算類似。
• 加減法定理：若函數u(x),v(x)都在x0可導，則函數f(x)=u(x)±v(x) 在x0 處可導，且f`(x0)=u`(x0)±v`(x0)
• 乘法定理：若函數u(x),v(x)都在x0可導，則函數f(x)=u(x)v(x) 在x0 處可導，且f`(x0)=u`(x0)v(x0) u(x0)v`(x0)
• 推論：若函數v(x)都在x0可導，C為常數，則函數Cv(x) 在x0 處可導，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)
• 除法定理：若函數u(x),v(x)都在x0可導，且v(x0)≠0，則函數f(x)=u(x)/v(x) 在x0 處可導，且
• f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2
• 反函數求導定理：設y=f(x) 為 x=φ(y)的反函數，若φ(y)在點y0的某鄰域内連續，嚴格單調，且φ`(y0)≠0，則f(x)在x0上可導，且f`(x0)=1/φ`(y0)
• 複合求導定理：y=f(u)在u0可導，u=g(x)在x0可導，u0=g(x0)，則複合函數fOg在x0處可導，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g'(x0)=f'(g(x0))·g`(x0)，這也稱為鍊式法則。

第3節，講微分的計算與應用：根據導數法則，dy=f`(x)dx x∈I，不難推出微分運算法則

• d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)
• d[u(x)·v(x)] =v(x)·du(x) u(x)·dv(x)
• d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)
• d[fOg(x)]=f`(u)g'(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，這個稱為一階微分形式不變性，可用于推導積分換元公式。
• 應用：工程上的近似計算，取x0=0,Δx=x，在x0=0 附近，f(x)≈f(0) f`(0)x,當|x|充分小，sinx≈x,tanx≈x,ln(1 x)≈x,1/(1 x) ≈ 1-x,e^x ≈ 1 x ；也用在測量誤差

第4節，高階導數與高階微分，之前講的微分與導數都是一階的，這裡學習高階的：

• 一階導數的導數是二階導數，定義與一階導數類似，這裡隻講形式：lim (f`(x)-f`(x0)/（x-x0）=f``(x0)，同理有三階導數，。。。，n階導數
• 高階導數公式：y^(n) = [y^(n-1)]`
• 高階導數運算法則：
• 1）[Cu(x)]^(n) = C u^(n)(x) C是常數
• 2）[u(x)±v(x)]​^(n) = [u(x)]^(n)±[v(x)]^(n)
• 3)[u(x)v(x)]^(n) = ∑Cn^k u^(n-k)(x)v^(n)(x)，萊布尼茲公式
• 二階微分：d(dy) = d(f`(x)dx)=(f``(x)dx)·dx=f``(x)(dx)^2，記作d^2y=f``(x)dx^2
• n階微分：d^ny=f^(n)(x) dx^n，從二階微分開始，喪失微分形式不變性

第5節，參數方程與導數，偏向于應用

• 參數方程的定義：通過輔助變量t，來表示x,y的關系
• 用參數方程表示函數的導數--擺線方程
• 用極坐标方程表示曲線的切線--對數螺線切線方程
• 參數方程表示函數的高階導數--擺線方程

本章最重要的是導數微分的概念和公式，後面兩節偏向于實用方向。

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