這部分内容請查看: 「不可能的數字：複數」-圖解不可不知的數學知識系列 01

若z = x iy, 與其對應的共轭複數(complex conjugate) x-iy . z 的模(modulus) 為 √x^2 y^2, 寫作 |z| .

複數與它的共轭複數的乘積是模的平方, 即:

複指數函數(Complex exponentials)

再《幂級數和泰勒級數》一章已經知道:

如果 x 為複數 z, 就會得到一個項為複數的級數 e^z , 其中z 是任意複數, 則且級數收斂.

在複平面内将每個點看作一個複數, 而不是一對實數. 可将平面中的點用極坐标代替.

那麼在複平面内極坐标為 (r, θ) 的點, 所表示的複數的笛卡爾坐标 (x= cos(θ), y=r sin(θ)) :

下面來看看數學中最著名公式之一的歐拉恒等式:

觀察下圖不同的 θ 值對應的 e^(iθ), 請留意動畫停頓之處(特别是在複平面中等于 -1 的地方)

對于不在單位圓上的點, 你隻需乘以 r , 也就是如果 (x,y) 和 (r,θ) 為相同的點, 則 x i y = r e^(iθ)

從上圖中可以得知 e^(iθ) 關于 θ 是周期的, 且周期為 2π . 這意味着 e^(i3π/2)= e^(−iπ/2)

笛卡爾形式和極坐标形式互換

将極坐标形式的複數轉成笛卡爾形式, 可以利用歐拉恒等式, 即 e^(iθ)=cos(θ) i sin(θ) . 例如

由笛卡兒形式轉換到極坐标形式要用到這個公式 r=√x2 y2 . 比如對于輔助 z= 1-i 中 x=1, y=-1. 由圖形知道點 (1,-1) 再第四象限, 且兩種 θ 均正确(加上 2π 的任意整數倍).

極坐标形式比較容易進行乘法和取幂運算, 比如

如何解 z^n=w 的方程, 其中 n 是整數, w 為複數. 這意味着要取 w 的 n 次方根. 使用極坐标形式的幂次來進行求解.

一般第, 方程有 n 個解, 當畫出這些解時, 它們的頂點形成了一個正 n 多邊形.

三角級數是系數為 anan 和 bnbn , 形如下面的級數:

來看看用幂級數來證明歐拉恒等式吧:

按照之前 28.1.1 節對 e^z 的定義, 将 z 替換為 iθ , 可以得到

由于i 的幂在值 1, i, -1, -i 間持續循環:

展開後整理實部系數和虛部系數, 可以推出歐拉等式 e^(iθ)=cos(θ) i sin(θ)

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