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學生成績成正态分布說明什麼

健康更新时间:2024-12-25 12:26:50

如果連續型随機變量的概率密度函數為

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）1

圖1

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）2

從上面的定義可以看出，正态分布首先是對于連續型随機變量來說的，而學生的分數則應該是離散型随機變量，因為不可能有什麼60.1，60.01，60.001分等等。

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）3

上圖是一個正态分布曲線，假設橫坐标代表分數，每一個藍色柱狀圖和曲線有一個交點，則這個交點的縱坐标就是對應于這個分數的概率密度。但是，假設圖中的分數為70，與縱坐标的交點為0.4，那麼，“一個班的學生成績應該服從正态分布”指的是考到70分的學生人數占總人數的40%，即概率的意思。因此：

“一個班的學生成績應該服從正态分布”，首先這句話等于認為學生的分數是一個連續的實數，而且這個分數的範圍是從負無窮到正無窮，這顯然是不符合現實的。

其次，對于離散型随機變量來說，隻有概率，不存在概率密度的概念，因此，“一個班的學生成績應該服從正态分布”不但混肴了離散型和連續型随機變量的概念，而且混肴了概率和概率密度的概念。

對于概率密度服從正态分布的随機變量來說，其分布函數是對概率密度函數的積分：

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）4

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）5

由上圖最後一個積分表達式

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）6

以及分布函數的定義

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）7

可以推導得出正态分布的概率分布函數為

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）8

其中

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）9

等于1，得到正态分布的分布函數F(x)如下圖：

學生成績成正态分布說明什麼（一個班的學生成績應該服從正态分布）10

綜上所述，學生成績本來是一個離散型随機變量，但我們套用了連續型随機變量的正态分布概念；同時也混肴了概率和概率密度的含義。但實際工作中，這并不會帶來什麼太大的影響，隻要我們把學生的成績假想為是整個實數區間就行了。

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