函數是高考數學的基礎，又是重難點，

今天小編把函數的八大問題都列出來了。

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一次函數

一、定義與定義式

自變量x和因變量y有如下關系：y=kx b 則此時稱y是x的一次函數。

特别地，當b=0時，y是x的正比例函數。即：y=kx （k為常數，k≠0）

二、一次函數的性質

1.y的變化值與對應的x的變化值成正比例，比值為k

即：y=kx b （k為任意不為零的實數 b取任何實數）

2.當x=0時，b為函數在y軸上的截距。

三、一次函數的圖像及性質

1．作法與圖形：通過如下3個步驟

（1）列表；

（2）描點；

（3）連線，可以作出一次函數的圖像——一條直線。

因此，作一次函數的圖像隻需知道2點，并連成直線即可。（通常找函數圖像與x軸和y軸的交點）

2．性質：

（1）在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式：y=kx b。

（2）一次函數與y軸交點的坐标總是（0，b)，與x軸總是交于（-b/k，0）正比例函數的圖像總是過原點。

3．k，b與函數圖像所在象限：

當k＞0時，直線必通過一、三象限，y随x的增大而增大；

當k＜0時，直線必通過二、四象限，y随x的增大而減小。

當b＞0時，直線必通過一、二象限；

當b=0時，直線通過原點

當b＜0時，直線必通過三、四象限。

特别地，當b=0時，直線通過原點O（0，0）表示的是正比例函數的圖像。

這時，當k＞0時，直線隻通過一、三象限；當k＜0時，直線隻通過二、四象限。

四、确定一次函數的表達式

已知點A（x1，y1）；B（x2，y2），請确定過點A、B的一次函數的表達式。

（1）設一次函數的表達式（也叫解析式）為y=kx b。

（2）因為在一次函數上的任意一點P（x，y），都滿足等式y=kx b。所以可以列出2個方程：y1=kx1 b 和y2=kx2 b

（3）解這個二元一次方程，得到k，b的值。

（4）最後得到一次函數的表達式。

五、一次函數在生活中的應用

1.當時間t一定，距離s是速度v的一次函數。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數。設水池中原有水量S。g=S-ft。

六、常用公式：（不全面，可以在書上找）

1.求函數圖像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)

2.求與x軸平行線段的中點：|x1-x2|/2

3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2

4.求任意線段的長：√(x1-x2)2 (y1-y2)2 （注：根号下（x1-x2)與（y1-y2)的平方和）

二次函數

一、定義與定義表達式

一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

y=ax2 bx c

（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,|a|還可以決定開口大小,|a|越大開口就越小,|a|越小開口就越大。）

則稱y為x的二次函數。

二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

二、二次函數的三種表達式

一般式：y=ax2 bx c（a，b，c為常數，a≠0）

頂點式：y=a(x-h)2 k [抛物線的頂點P（h，k）]

注：在互相轉化中，有如下關系:

h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a x1，x2=(-b±√b2-4ac)/2a

三、二次函數的圖像

在平面直角坐标系中作出二次函數y=x2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條抛物線。

四、抛物線的性質

1.抛物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

x= -b/2a。

對稱軸與抛物線唯一的交點為抛物線的頂點P。

特别地，當b=0時，抛物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）

2.抛物線有一個頂點P，坐标為

P( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )

當-b/2a=0時，P在y軸上；當Δ= b2-4ac=0時，P在x軸上。

3.二次項系數a決定抛物線的開口方向和大小。

當a＞0時，抛物線向上開口；當a＜0時，抛物線向下開口。

|a|越大，則抛物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同号時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；

當a與b異号時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定抛物線與y軸交點。

抛物線與y軸交于（0，c）

6.抛物線與x軸交點個數

Δ= b^2-4ac＞0時，抛物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2-4ac=0時，抛物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac＜0時，抛物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數（x= -b±√b^2－4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）

五、二次函數與一元二次方程

特别地，二次函數（以下稱函數）y=ax2 bx c，

當y=0時，二次函數為關于x的一元二次方程（以下稱方程），

即ax2 bx c=0

此時，函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。

函數與x軸交點的橫坐标即為方程的根。

1.二次函數y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2 k，y=ax2 bx c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，隻是位置不同，它們的頂點坐标及對稱軸如下：

解析式 和 頂點坐标對 和 對稱軸

y=ax2 (0，0) x=0

y=a(x-h)2 (h，0) x=h

y=a(x-h)2 k (h，k) x=h

y=ax2 bx c (-b/2a，[4ac-b2]/4a) x=-b/2a

當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由抛物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，

當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。

當h>0,k>0時，将抛物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(x-h)2 k的圖象；

當h>0,k<0時，将抛物線y=ax2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2 k的圖象；

當h<0,k>0時，将抛物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)2 k的圖象；

當h<0,k<0時，将抛物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)2 k的圖象；

因此，研究抛物線 y=ax2 bx c(a≠0)的圖象，通過配方，将一般式化為y=a(x-h)2 k的形式，可确定其頂點坐标、對稱軸，抛物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便。

2.抛物線y=ax2 bx c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐标是(-b/2a，[4ac-b2]/4a)．

3．抛物線y=ax2 bx c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y随x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y随x的增大而增大．若a<0，當x ≤ -b/2a時，y随x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y随x的增大而減小．

4．抛物線y=ax2 bx c的圖象與坐标軸的交點：

(1)圖象與y軸一定相交，交點坐标為(0，c)；

(2)當△=b2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2 bx c=0

(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x2-x1|

當△=0．圖象與x軸隻有一個交點；

當△<0．圖象與x軸沒有交點．當a>0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數時，都有y>0；當a<0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數時，都有y<0．

5．抛物線y=ax2 bx c的最值：如果a>0(a<0)，則當x= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．

頂點的橫坐标，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐标，是最值的取值．

6．用待定系數法求二次函數的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：

y=ax2 bx c(a≠0)．

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐标或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(x-h)2 k(a≠0)．

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐标時，可設解析式為兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)．

7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為複雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出。

反比例函數

形如 y＝k/x(k為常數且k≠0) 的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值範圍是不等于0的一切實數。

反比例函數圖像性質：反比例函數的圖像為雙曲線。

由于反比例函數屬于奇函數，有f(-x)=-f(x),圖像關于原點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖像上任取一點，向兩個坐标軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為|k|。

知識點：

1.過反比例函數圖象上任意一點作兩坐标軸的垂線段，這兩條垂線段與坐标軸圍成的矩形的面積為|k|。

2.對于雙曲線y＝k／x ，若在分母上加減任意一個實數 (即 y＝k／（x±m）m為常數)，就相當于将雙曲線圖象向左或右平移一個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）

對數函數

對數函數的一般形式為，它實際上就是指數函數 的反函數。因此指數函數裡對于a的規定，同樣适用于對數函數。

對數函數的圖形隻不過的指數函數的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數。

（1）對數函數的定義域為大于0的實數集合。

（2）對數函數的值域為全部實數集合。

（3）函數總是通過（1，0）這點。

（4）a大于1時，為單調遞增函數，并且上凸；a小于1大于0時，函數為單調遞減函數，并且下凹。

（5）顯然對數函數無界。

指數函數

指數函數的一般形式為，從上面我們對于幂函數的讨論就可以知道，要想使得x能夠取整個實數集合為定義域，則隻有使得

可以得到：

（1） 指數函數的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

（2） 指數函數的值域為大于0的實數集合。

（3） 函數圖形都是下凹的。

（4） a大于1，則指數函數單調遞增；a小于1大于0，則為單調遞減的。

（5） 可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中（當然不能等于0），函數的曲線從分别接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分别接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

（6） 函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸,永不相交。

（7） 函數總是通過（0，1）這點。

（8） 顯然指數函數無界。

奇偶性

一、定義

一般地，對于函數f(x)

（1）如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f(-x)=－f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數。

（2）如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。

（3）如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

（4）如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

說明：①奇、偶性是函數的整體性質，對整個定義域而言

②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱，如果一個函數的定義域不關于原點對稱，則這個函數一定不是奇（或偶）函數。

（分析：判斷函數的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論）

③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義

二、奇偶函數圖像的特征

定理 奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表，偶函數的圖象關于y軸或軸對稱圖形。

f(x)為奇函數《＝＝》f(x)的圖像關于原點對稱

點（x,y）→（-x,-y）

奇函數在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。

偶函數 在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。

三、奇偶函數運算

1.兩個偶函數相加所得的和為偶函數.

2.兩個奇函數相加所得的和為奇函數.

3.一個偶函數與一個奇函數相加所得的和為非奇函數與非偶函數.

4. 兩個偶函數相乘所得的積為偶函數.

5.兩個奇函數相乘所得的積為偶函數.

6.一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數.

定義域

（高中函數定義）設A,B是兩個非空的數集，如果按某個确定的對應關系f,使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一确定的數f(x)和它對應，那麼就稱f:A--B為集合A到集合B的一個函數，記作y=f(x),x屬于集合A。其中，x叫作自變量，x的取值範圍A叫作函數的定義域；

值域

一、名稱定義

函數中，應變量的取值範圍叫做這個函數的值域函數的值域,在數學中是函數在定義域中應變量所有值的集合。

常用的求值域的方法

（1）化歸法

（2）圖象法（數形結合）

（3）函數單調性法

（4）配方法

（5）換元法

（6）反函數法（逆求法）

（7）判别式法

（8）複合函數法

（9）三角代換法

（10）基本不等式法等

二、關于函數值域誤區

定義域、對應法則、值域是函數構造的三個基本“元件”。平時數學中，實行“定義域優先”的原則，無可置疑。

然而事物均具有二重性，在強化定義域問題的同時，往往就削弱或談化了，對值域問題的探究，造成了一手“硬”一手“軟”，使學生對函數的掌握時好時壞，事實上，定義域與值域二者的位置是相當的，絕不能厚此薄皮，何況它們二者随時處于互相轉化之中（典型的例子是互為反函數定義域與值域的相互轉化）。

如果函數的值域是無限集的話，那麼求函數值域不總是容易的，反靠不等式的運算性質有時并不能奏效，還必須聯系函數的奇偶性、單調性、有界性、周期性來考慮函數的取值情況。

才能獲得正确答案，從這個角度來講，求值域的問題有時比求定義域問題難，實踐證明，如果加強了對值域求法的研究和讨論，有利于對定義域内函的理解，從而深化對函數本質的認識。

三、“範圍”與“值域”相同嗎？

“範圍”與“值域”是我們在學習中經常遇到的兩個概念，許多同學常常将它們混為一談，實際上這是兩個不同的概念。

“值域”是所有函數值的集合（即集合中每一個元素都是這個函數的取值），而“範圍”則隻是滿足某個條件的一些值所在的集合（即集合中的元素不一定都滿足這個條件）。

也就是說:“值域”是一個“範圍”，而“範圍”卻不一定是“值域”。

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