高中數學函數的性質-tft每日頭條

高中數學函數的性質

教育更新时间:2025-02-09 13:06:30

開辟【高中數學】欄目，介紹高中數學學習方法、知識技巧等，亦有精彩的試題講解。希望能夠對正在學習高中數學的同學們有所幫助！

函數的性質本質上指當自變量滿足某些關系時，函數值是否随之滿足某些關系．具有某種性質的函數，會同時反應在函數的解析式與函數的圖象上，借助于性質的本質，解析式滿足的關系與圖象滿足的特征之間可以很好地對應起來．

以偶函數為例，若函數是偶函數，那麼它的解析式滿足方程

高中數學函數的性質（高中數學從本質角度理解函數的性質）1

，它的圖象關于軸對稱．從偶函數本質上理解：當兩個自變量的和為時，對應的函數值相等，這兩個點也恰好關于軸對稱，如圖：

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如果一個函數滿足對定義域内任意一個

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，都有

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那麼函數具有什麼性質，圖象具有什麼特點呢？

從形式上看，這與偶函數的定義不一樣，但從本質上來看，仍然滿足當自變量的和為時，函數值相等，所以仍然為偶函數．

事實上，令

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，則我們得到

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從這個角度出發，我們可以推導，如果函數的圖象關于直線對稱，的解析式滿足的方程．

推導圖象關于對稱，意味着自變量的和為時，函數值相等，所以有

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如果你願意，也可以寫成

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甚至

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因為這些方程都可以導出當自變量的和為時，函數值相等．

解析式滿足的關系式可以從形式上千變萬化，但從本質上始終保持一緻．抓住性質的本質就可以以不變應萬變．

根據上面的思路，由奇函數的定義

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，很容易得到奇函數的本質：當自變量的和為時，函數值的和也為．由此可以推導與中心對稱相關的性質．比如：

若函數滿足：

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，那麼關于

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中心對稱，因為當自變量的和為時，函數值的和為．

若函數的圖象關于點

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中心對稱，則有

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下面看一個用性質的本質去推導的例子：

求證如果一個函數有雙對稱軸，那麼它一定是周期函數．

不妨以特殊的函數為例進行證明，若函數的圖象關于

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與對稱，證明是周期函數，并求出它的一個周期．

證由的圖象關于對稱知，當自變量和為時，函數值相等，即

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同理有

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于是我們得到

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這說明當自變量相差時，函數值相等，這是周期性的本質，故是周期函數，是它的一個周期．

最後我們給出一道練習（2009年高考數學全國I卷理科第11題）

函數的定義域為

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，若

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與

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都是奇函數，則

A．是偶函數

B．是奇函數

C．

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D．

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是奇函數

答案 D

提示：令

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，由

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知

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，即

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同理有

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從而有

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得到是周期為的函數，從而

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為奇函數．

注除了從性質的本質角度出發外，利用圖象的變換也是一個可以嘗試的角度，但有一定的局限性．比如，若的圖象關于對稱知，我們推導滿足的方程．将的圖象向左平移兩個單位後，得到的函數的圖象關于軸對稱，即

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是一個偶函數．記

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，有

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，從而

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由數海拾貝供稿。

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