人教版是從生活情境提出圓面積的概念，體會在實際生活中計算圓面積的必要性。學生以前學過的圖形都是多邊形（如三角形、長方形、正方形、平行四邊形和梯形等），都是直邊圖形，像圓這樣的曲線圖形的面積計算，學生還是第一次接觸到，理解起來比較困難。教材直接給出明确的提示，讓把圓平均分成若幹等份，拼一拼。教師把重點放在了拼和拼後找關系上，忽略了圓的面積的轉化過程，求圓的面積人類經過了漫長的過程，其中中國數學家劉徽的“割圓術”以出入相補的歸納思想計算圓的面積，和西方的歐幾裡得的演繹風格迥然不同卻相輔相成。現在的問題是，怎樣才能讓學生在簡單經曆割圓術的思想方法的基礎上想到如何進行剪拼。我們在人教版、青島版、北師大版教材上都能看到“割圓術”的影子，怎樣在求圓的面積時從這個角度進行教學呢？

我們可以嘗試這樣引導：師：怎樣計算圓的面積呢？

生：轉化成已經學過的圖形。

師：可圓是曲線圖形，不能直接轉化成學過的圖形，怎麼辦呢？

生：……

師：雖然不能直接轉化，我們可以用學過的圖形進行研究，比如我們在圓内畫一個最大的正方形，這個正方形的面積和圓的面積比較？

生：圓的面積大于裡面正方形的面積。

師：這一點我們在圓的認識時就知道了，而且還知道……？

生：圓的面積小于外接正方形的面積。

師：如果内接和外接的正多邊形邊越多，我們會發現？

課件出示，生：最後和圓重合，就是圓的面積。

師：我們試着把圓分割一下，正方形的時候分割成了四個扇形，随着正多邊形的邊數不斷增多，把圓分割成了很多什麼圖形？

生1：小三角形，生2：終于分成了學過的圖形。

師：正多邊形的邊數越多，越接近三角形，把這些三角形取下來拼一拼看看你們能發現什麼？

……

事實上，把圓轉化成直邊圖形單靠學生主動探究是很難實現的，從極限的角度他們是很難跨過這個思想鴻溝的，即使按照上述的方法引導有意識的，能朝着正确的方向去做，但最後也會因為數量和表象達不到效果，或者從宏觀上解釋：是現實操作與理想數學之間的沖突導緻的難以持續研究。所以我認為，圓的面積是前面平面圖形面積教學的一次全面提升，它應該是讓學生經曆和掌握圓面積公式的由來，更重要的是體會，平面圖形間從“無限”的角度能夠實現轉化，以及了解有關圓的曆史探究知識，在思維上是一次飛躍。（化曲為直、怎麼變直的？變直的過程是課堂上研究的重點）

最早計算圓面積的是中國數學家劉徽，距離我們近二千年，比祖沖之稍早一些，他寫的一本數學著作《九章算術》。劉徽最突出的數學成就就是“割圓術”，祖沖之就是利用劉徽的割圓術發現圓周長與直徑的比值是3倍多一些，方便我們計算圓的周長。而劉徽利用割圓術發現圓面積的計算方法，面積的計算公式是劉徽的貢獻。他把圓分割為若幹小扇形，他從正六邊形出發，将邊數逐次加倍，并逐步計算正多邊形的面積。他說“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失”。圓面積的計算還表現劉徽另一數學原理“出入相補”：一個幾何圖形被分割為若幹後，面積或體積保持不變。此時劉徽已有極限思想。

史甯中教授指出，數學最上位的思想主要是歸納和演繹，“幾何測量”教學中，教學的主體思想不應該忽視演繹推理，那就是重視讓學生經曆公式（算法）的形成過程。

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