摘要：本文主要介紹物理學中的對稱性、因果關系與守恒定律

在現代物理學中對稱性是個很深刻的問題。在粒子物理、固體物理、原子物理等許多領域裡，對稱性的概念都很重要。對稱性的概念最初來源于生活。在藝術、建築等領域中，所謂“對稱”，通常是指左右對稱。人體本身就有近似左和右的對稱性。各類建築，特别是古代建築都有較高的左右對稱性。除了左右對稱之外，還有軸對稱、球對稱等等。

圖1 祈年殿

什麼是對稱性？

為了介紹對稱性的普遍定義，我們先引進一些概念。首先是“系統”，它是我們讨論問題的對象；其次是“狀态”，同一系統可以處在不同的狀态；不同的狀态可以是“等價的”，也可以是“不等價的”。我們把系統從一個狀态變到另一個狀态的過程叫做“變換”，或者說，我們給它一個“操作”。如果一個操作使系統從一個狀态變到另一個與之等價的狀态，或者說，狀态在此操作下不變，我們就說該系統對于這一操作是“對稱的”，而這個操作叫做該系統的一個“對稱操作”。

圖2 旋轉的陀螺

例如，一個圓對于圍繞中心旋轉任意角度的操作來說是對稱的；或者說，旋轉任意角度的操作都是該圓的對稱操作。如果我們在圓内加一對相互垂直的直徑，這個系統的對稱操作就少多了。轉角必須是90度的整數倍，操作才是對稱的。

1951年，德國數學家外爾提出了關于對稱性的普遍嚴格的定義：“如果一個操作使系統從一個狀态變到另一個與之等價的狀态，或者說，狀态在此操作下不變，我們就說系統對于這一操作使對稱的，而這個操作叫做這個系統的一個對稱操作。”常見的對稱性時空操作有空間的平移和轉動以及時間的平移。

圖3 德國數學家外爾

一個物體發生一平移後，若仍和原來相同，這形體就具有空間平移對稱性。平移對稱性有高低之分，一條無窮長直線對沿自身反向任意大小的平移都是對稱的。一個無窮大平面對沿平面内的任何方向平移都是對稱的。但晶體構成立方體晶格點陣隻對沿确定方向，而且一次平移的“步長”具有确定值的平移才是對稱的，顯見晶體的平移對稱性就低。

如果使物體繞某一固定軸轉動一個角度，若仍和原來相同，那麼這種對稱叫做轉動對稱或軸對稱。軸對稱也有級次之别。如樹葉圖形繞中心線旋轉180度後可恢複原狀，而六角形的雪花繞通過中心的垂直軸轉動60度後就可以恢複原狀。後者比前者的對稱性級次高。天壇祈年殿的外形繞其中心垂直軸幾乎旋轉過任意角度都和原狀一樣，所以它具有更高級次的轉動對稱性。

圖4 楓葉的對稱性

一個精緻不變的系統 對任何間隔Δt的時間平移表現出不變性，而一個周期性變化的系統（如單擺）隻對周期性T數倍的時間平移不變。他們都具有一定的時間平移對稱性。

物理定律的對稱性

以上對稱性都是指某個系統或具體事務的對稱性，另一類對稱性是物理定律的對稱性，它是指經過一定的操作後，物理定律的形式保持不變。因此物理定律的對稱性又叫不變性，這類對稱性在物理學中具有更深刻的意義。

圖5 牛頓第二定律驗證試驗裝置

物理定律的空間平移對稱性。

設想我們在空間某處做一個物理實驗，然後将這套實驗（連同影響該實驗的一切外部因素）平移到另一處。如果給以同樣的起始條件，實驗将會以完全相同的方式進行。這說明物理定律沒有因平移而發生變化。這就是物理定律的空間平移對稱性。它表明空間各處對物理定律是一樣的，所以又叫做空間的均勻性。

圖6 邁克爾遜莫雷試驗示意圖

物理定律的轉動對稱性。

如果再空間某處做實驗後，把整套儀器（連同影響實驗的一切外部因素）轉一個角度，則在相同的起始條件下，實驗也會以完全相同的方式進行，這說明物理定律并沒有因轉動而發生變化。這就是物理定律的轉動對稱性。它表明空間的各個方向對物理定律是一樣的，所以又叫做空間的各向同性。

物理定律的時間平移對稱性。

如果我們用一套儀器做實驗，該實驗進行的方式或隻需和此實驗開始的時刻無關的。無論在什麼時候開始做實驗，我們得到完全一樣的結果，這個事實表示了物理定律的時間平移的對稱性。

圖7 牛頓擺

關于物理定律的對稱性有一條很重要的定律——對應于每一種對稱性都有一條守恒定律。例如，對應于空間均勻性有動量守恒定律，對應于空間的各向同性有角動量守恒定律，對應于時間平移對稱性有能量守恒定律，對應于空間反演對稱性有宇稱守恒定律等。

在時間反演變換下，保守力f、加速度a和質量m都是不變的，所以牛頓第二定律f=ma對于保守力具有時間反演不變性，這是物理定律的對稱性。地面上一個物體所受的重力f=mg所具有的時間反演不變性，也是物理定律的對稱性。在重力作用下的自由落體，經過時間反演，就變成了上抛物體，它的速度反向了，其運動具有時間反演不變性。若把自由落體的錄像倒過來播放，觀衆不能判斷正反。為什麼？因為兩者都符合物理規律。（這裡沒有考慮空氣的阻力）

圖8 蘋果自由落體運動

在速度不大的情況下，空氣阻力f=-γv，符号表示阻力的方向總與速度v相反。在時間反演變換下v→-v，從而阻力公式變成f=γv。亦即阻力公式不具有時間反演不變性。這就是物理規律對于時間反演的不對稱性了。如果将空氣阻力效應明顯的落體運動錄下來，倒着放映，觀衆就會察覺不對頭，因為它違反物理規律。

因果關系和對稱性原理

自然規律反映了事務之間的因果關系。所謂“因果關系”就是在一定條件下回出現一定的現象。在這種情況下我們把前者（條件）稱為“原因”，後者（現象）稱為“結果”。要構成一條穩定的因果關系，最重要的需要有兩條：可重複性和預見性。其實這就是科學本身存在的必要前提。以上兩條性質要求“相同的原因必定産生相同的結果”。但宏觀世界的事務沒有絕對相同的，我們可以把用詞放寬一些，用“等價”一詞代替“相同”，把因果關系歸結為：等價的原因→等價的結果。這裡的箭頭表示“必定産生”。這就是因果性的等價原理。

圖9 雞和蛋之間的因果關系

一個操作産生“相同”或“等價”的效果，就是不變性，不變性也就是對稱性。所以用對稱性的語言來說，上述等價原理可以改寫成下列公式：對稱性的原因→對稱性的結果。

應該注意，因果關系的等價原理中箭頭是單向的，即隻有“等價的原因必定産生等價的結果”，但是等價的結果可能來源于 不等價的原因。從而上列用對稱性來表達的因果關系中箭頭也是單向的，即對稱的結果也可能來源于不對稱的原因，所以我們說：原因中的對稱性未必 反映在結果中，即結果中的對稱性之少有原因中的對稱性那麼多。反過來應該說：結果中的不對稱性必在原因中有反映，即原因中的不對稱性至少有結果中的不對稱性那麼多。這個原理叫做對稱性原理，它是皮埃爾•居裡于1894年首先提出來的。

圖10 能量轉化的基本規律

守恒定律與對稱性

客觀世界中存在某些對稱性，如時間的平移對稱性、空間的平移對稱性、空間的各向同性等，每一種對稱性都對應有一條守恒定律。對此，德國數學家諾特于1918年進行了嚴格的論證。看一下能量守恒定律。從宏觀的角度看，物體系有保守系和非保守系之分，前者機械能守恒，後者則不然。從微觀的角度看無所謂耗散力，在一切系統中，粒子與粒子之間的相互作用可通過相互作用勢（分子力勢能）來表達。

圖11 火箭發射符合動量守恒原理

時間均勻性，或者說，時間平移不變性意味着，這種相互作用勢隻與兩粒子的相對位置有關，亦即對于同樣的相對位置，粒子間的相互作用勢不應随時間而變。在這種情況下系統的總能量（動能 勢能）自然是守恒的。

我們可以舉例來說明，在相反的情況下能量可以不守恒。某地建設了一個抽水蓄能電站，夜間用電低谷是抽水上山，白天用電高峰時防水發電。利用晝夜能源的價值不同，可以獲得很好的經濟效益。倘若晝夜變化的不僅是能源的價值，而且是重力加速度g（它代表着萬有引力的強度），從而水庫中同樣水位所蓄的重力勢能mgh做周期性的變化，則抽水蓄能電站獲得的不僅是經濟效益，而且是能力的盈餘。于是永動機的夢想實現了。而時間的平移不變性不允許出現這種情況。

要知道牛頓第三定律，即作用力和反作用力大小相等，方向相反和動量守恒定律是等價的，我們同樣可以利用空間平移不變性推出動量守恒定律。也可以利用空間的各向同性推出角動量守恒定律。

本文關于對稱性、因果關系與守恒定律就介紹到這裡了。小夥伴們你們有什麼想說的嗎？歡迎在下方的評論區裡面留言參與。

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