人教版八年級數學上冊知識點總結

第十一章 三角形

一、知識框架：

二、知識概念：

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高.

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線.

5.角平分線：三角形的一個内角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.

6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性.

7.多邊形：在平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的内角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的内角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對

角線.

11.正多邊形：在平面内，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用

多邊形覆蓋平面，

13.公式與性質：

⑴三角形的内角和：三角形的内角和為180°

⑵三角形外角的性質：

性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和.

性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角.

⑶多邊形内角和公式：邊形的内角和等于·180°

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

⑸多邊形對角線的條數：①從邊形的一個頂點出發可以引條對角

線，把多邊形分成個三角形.②邊形共有條對角線.

第十二章 全等三角形

一、知識框架：

二、知識概念：

1.基本定義：

⑴全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.

⑵全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形.

⑶對應頂點：全等三角形中互相重合的頂點叫做對應頂點.

⑷對應邊：全等三角形中互相重合的邊叫做對應邊.

⑸對應角：全等三角形中互相重合的角叫做對應角.

2.基本性質：

⑴三角形的穩定性：三角形三邊的長度确定了，這個三角形的形狀、大小就全确定，這個性質叫做三角形的穩定性.

⑵全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，對應角相等.

3.全等三角形的判定定理：

⑴邊邊邊（）：三邊對應相等的兩個三角形全等.

⑵邊角邊（）：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等.

⑶角邊角（）：兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等.

⑷角角邊（）：兩角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等.

⑸斜邊、直角邊（）：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等.

4.角平分線：

⑴畫法：

⑵性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

⑶性質定理的逆定理：角的内部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.

5.證明的基本方法：

⑴明确命題中的已知和求證.（包括隐含條件，如公共邊、公共角、對頂

角、角平分線、中線、高、等腰三角形等所隐含的邊角關系）

⑵根據題意，畫出圖形，并用數字符号表示已知和求證.

⑶經過分析，找出由已知推出求證的途徑，寫出證明過程.

第十三章 軸對稱

一、知識框架：

二、知識概念：

1.基本概念：

⑴軸對稱圖形：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相

重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形.

⑵兩個圖形成軸對稱：把一個圖形沿某一條直線折疊，如果它能夠與另一

個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關于這條直線對稱.

⑶線段的垂直平分線：經過線段中點并且垂直于這條線段的直線，叫做這

條線段的垂直平分線.

⑷等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩條邊叫

做腰，另一條邊叫做底邊，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做

底角.

⑸等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形.

2.基本性質：

⑴對稱的性質：

①不管是軸對稱圖形還是兩個圖形關于某條直線對稱，對稱軸都是任何一

對對應點所連線段的垂直平分線.

②對稱的圖形都全等.

⑵線段垂直平分線的性質：

①線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

②與一條線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.

⑶關于坐标軸對稱的點的坐标性質

.

⑷等腰三角形的性質：

①等腰三角形兩腰相等.

②等腰三角形兩底角相等（等邊對等角）.

③等腰三角形的頂角角平分線、底邊上的中線，底邊上的高相互重合.

④等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（1條）.

⑸等邊三角形的性質：

①等邊三角形三邊都相等.

②等邊三角形三個内角都相等，都等于60°

③等邊三角形每條邊上都存在三線合一.

④等邊三角形是軸對稱圖形，對稱軸是三線合一（3條）.

3.基本判定：

⑴等腰三角形的判定：

①有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

②如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等（等角對

等邊）.

⑵等邊三角形的判定：

①三條邊都相等的三角形是等邊三角形.

②三個角都相等的三角形是等邊三角形.

③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.

4.基本方法：

⑴做已知直線的垂線：

⑵做已知線段的垂直平分線：

⑶作對稱軸：連接兩個對應點，作所連線段的垂直平分線.

⑷作已知圖形關于某直線的對稱圖形：

⑸在直線上做一點，使它到該直線同側的兩個已知點的距離之和最短.

第十四章 整式的乘除與分解因式

一、知識框架:

第十五章 分式

一、知識框架 ：

北師大版：八年級數學上冊重要知識點

第一章 勾股定理

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即 a 2 b2=c2。

2、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有這種關系，那麼這個三角形是直角三角形。

3、勾股數

滿足的三個正整數，稱為勾股數。

常見的勾股數組有：（3，4，5）；（5，12，13）；（8，15，17）；（7，24，25）；（20，21，29）；（9，40，41）；……（這些勾股數組的倍數仍是勾股數）

第二章 實數

1、實數的概念及分類

①實數的分類

②無理數

無限不循環小數叫做無理數。

在理解無理數時，要抓住“無限不循環”這一時之，歸納起來有四類：

• 開方開不盡的數，如 √7 ,3 √2等；
• 有特定意義的數，如圓周率π，或化簡後含有π的數，如π /₃ 8等；
• 有特定結構的數，如0.1010010001…等;
• 某些三角函數值，如sin60°等

2、實數的倒數、相反數和絕對值

①相反數

實數與它的相反數是一對數（隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零），從數軸上看，互為相反數的兩個數所對應的點關于原點對稱，如果a與b互為相反數，則有a b=0，a=-b，反之亦成立。

②絕對值

在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值。|a|≥0。0的絕對值是它本身，也可看成它的相反數，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。

③倒數

如果a與b互為倒數，則有ab=1，反之亦成立。倒數等于本身的數是1和-1。0沒有倒數。

④數軸

規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸（畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可）。

解題時要真正掌握數形結合的思想，理解實數與數軸的點是一一對應的，并能靈活運用。

⑤估算

3、平方根、算數平方根和立方根

①算術平方根

一般地，如果一個正數x的平方等于a，即x2 =a，那麼這個正數x就叫做a的算術平方根。特别地，0的算術平方根是0。

性質：正數和零的算術平方根都隻有一個，0的算術平方根是0。

②平方根

• 一般地，如果一個數x的平方等于a，即x2=a，那麼這個數x就叫做a的平方根（或二次方根）。
• 性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；零的平方根是零；負數沒有平方根。
• 開平方求一個數a的平方根的運算，叫做開平方。注意 √a的雙重非負性：√a≥0 ; a≥0

③立方根

• 一般地，如果一個數x的立方等于a，即x3=a，那麼這個數x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
• 表示方法：記作 3 √a
• 性質：一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根；零的立方根是零。
• 注意：- 3 √a=3 √-a，這說明三次根号内的負号可以移到根号外面。

4、實數大小的比較

①實數比較大小

正數大于零，負數小于零，正數大于一切負數；

數軸上的兩個點所表示的數，右邊的總比左邊的大；

兩個負數，絕對值大的反而小。

②實數大小比較的幾種常用方法

• 數軸比較：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的數大。
• 求差比較：設a、b是實數
• a-b＞0↔a＞b；
• a-b=0↔a=b；
• a-b＜0↔a＜b 。
• 求商比較法：設a、b是兩正實數，
• 絕對值比較法：設a、b是兩負實數，則∣a∣＞∣b∣↔a＜b。
• 平方法：設a、b是兩負實數，則 a2 ＞b2↔a＜b 。

5、算術平方根有關計算（二次根式）

①含有二次根号“ √ ”；被開方數a必須是非負數。

②性質：

③運算結果若含有“ √ ”形式，必須滿足：

• 被開方數的因數是整數，因式是整式
• 被開方數中不含能開得盡方的因數或因式

6、實數的運算

①六種運算：加、減、乘、除、乘方 、開方。

②實數的運算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最後算加減，如果有括号，就先算括号裡面的。

③運算律

加法交換律 a b= b a

加法結合律 （a b） c= a ( b c )

乘法交換律 ab= ba

乘法結合律 （ab）c = a( bc )

乘法對加法的分配律 a( b c )=ab ac

第三章 位置與坐标

1、确定位置

在平面内，确定物體的位置一般需要兩個數據。

2、平面直角坐标系及有關概念

①平面直角坐标系

在平面内，兩條互相垂直且有公共原點的數軸，組成平面直角坐标系。其中，水平的數軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統稱坐标軸。它們的公共原點O稱為直角坐标系的原點；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。

②坐标軸和象限

為了便于描述坐标平面内點的位置，把坐标平面被x軸和y軸分割而成的四個部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點（坐标軸上的點），不屬于任何一個象限。

③點的坐标的概念

• 對于平面内任意一點P,過點P分别x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對應的數a，b分别叫做點P的橫坐标、縱坐标，有序數對（a，b）叫做點P的坐标。
• 點的坐标用（a，b）表示，其順序是橫坐标在前，縱坐标在後，中間有“，”分開，橫、縱坐标的位置不能颠倒。平面内點的坐标是有序實數對，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐标。
• 平面内點的與有序實數對是一一對應的。

④不同位置的點的坐标的特征

a、各象限内點的坐标的特征

• 點P(x,y)在第一象限→ x＞0,y＞0
• 點P(x,y)在第二象限 → x＜0,y＞0
• 點P(x,y)在第三象限 → x＜0,y＜0
• 點P(x,y)在第四象限 → x＞0,y＜0

b、坐标軸上的點的特征

• 點P(x,y)在x軸上 → y=0，x為任意實數
• 點P(x,y)在y軸上 → x=0，y為任意實數
• 點P(x,y)既在x軸上，又在y軸上→ x，y同時為零，即點P坐标為（0，0）即原點

c、兩條坐标軸夾角平分線上點的坐标的特征

• 點P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上 → x與y相等
• 點P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上 → x與y互為相反數

d、和坐标軸平行的直線上點的坐标的特征

• 位于平行于x軸的直線上的各點的縱坐标相同。
• 位于平行于y軸的直線上的各點的橫坐标相同。

e、關于x軸、y軸或原點對稱的點的坐标的特征

• 點P與點p’關于x軸對稱 橫坐标相等，縱坐标互為相反數，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P’（x，-y）
• 點P與點p’關于y軸對稱 縱坐标相等，橫坐标互為相反數，即點P（x，y）關于y軸的對稱點為P’（-x，y）
• 點P與點p’關于原點對稱，橫、縱坐标均互為相反數，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P’（-x，-y）

f、點到坐标軸及原點的距離

點P(x,y)到坐标軸及原點的距離：

• 點P(x,y)到x軸的距離等于 ∣y∣
• 點P(x,y)到y軸的距離等于 ∣x∣
• 點P(x,y)到原點的距離等于 √x2 y2

3、坐标變化與圖形變化的規律

第四章 一次函數

1、函數

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果給定一個x值，相應地就确定了一個y值，那麼我們稱y是x的函數，其中x是自變量，y是因變量。

2、自變量取值範圍

使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值範圍。一般從整式（取全體實數），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數為非負數）、實際意義幾方面考慮。

3、函數的三種表示法及其優缺點

• 關系式（解析）法

兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符号的等式表示，這種表示法叫做關系式（解析）法。

• 列表法

把自變量x的一系列值和函數y的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。

• 圖象法

用圖象表示函數關系的方法叫做圖象法。

4、由函數關系式畫其圖像的一般步驟

• 列表：列表給出自變量與函數的一些對應值。
• 描點：以表中每對對應值為坐标，在坐标平面内描出相應的點。
• 連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。

5、正比例函數和一次函數

①正比例函數和一次函數的概念

• 一般地，若兩個變量x，y間的關系可以表示成y=kx b （k，b為常數，k不等于 0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。
• 特别地，當一次函數y=kx b中的b=0時（k為常數，k 不等于0），稱y是x的正比例函數。

②一次函數的圖像:

所有一次函數的圖像都是一條直線。

③一次函數、正比例函數圖像的主要特征

• 一次函數y=kx b的圖像是經過點（0，b）的直線；
• 正比例函數y=kx的圖像是經過原點（0，0）的直線。

④正比例函數的性質

一般地，正比例函數 有下列性質：

• 當k>0時，圖像經過第一、三象限，y随x的增大而增大；
• 當k<0時，圖像經過第二、四象限，y随x的增大而減小。

⑤一次函數的性質

一般地，一次函數 有下列性質：

• 當k>0時，y随x的增大而增大；
• 當k<0時，y随x的增大而減小。

⑥正比例函數和一次函數解析式的确定

• 确定一個正比例函數，就是要确定正比例函數定義式y=kx（k 不等于0）中的常數k。
• 确定一個一次函數，需要确定一次函數定義式y=kx b（k 不等于0）中的常數k和b。解這類問題的一般方法是待定系數法.

⑦一次函數與一元一次方程的關系

• 任何一個一元一次方程都可轉化為：kx b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．而一次函數解析式形式正是y=kx b（k、b為常數，k≠0）．當函數值為0時，即kx b=0就與一元一次方程完全相同．
• 結論：由于任何一元一次方程都可轉化為kx b=0（k、b為常數，k≠0）的形式．所以解一元一次方程可以轉化為：當一次函數值為0時，求相應的自變量的值．
• 從圖象上看，這相當于已知直線y=kx b确定它與x軸交點的橫坐标值．

第五章 二元一次方程組

1、二元一次方程

①二元一次方程

含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程。

②二元一次方程的解

适合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

2、二元一次方程組

①含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

②二元一次方程組的解

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

③二元一次方程組的解法

• 代入（消元）法
• 加減（消元）法

④一次函數與二元一次方程（組）的關系：

• 一次函數與二元一次方程的關系：

直線y=kx b上任意一點的坐标都是它所對應的二元一次方程kx- y b=0的解

• 一次函數與二元一次方程組的關系：

二元一次方程組

的解可看作兩個一次函數

和

的圖象的交點。

當函數圖象有交點時，說明相應的二元一次方程組有解；

當函數圖象（直線）平行即無交點時，說明相應的二元一次方程組無解。

第六章 數據的分析

1、刻畫數據的集中趨勢（平均水平）的量：平均數 、衆數、中位數

2、平均數

• 平均數：一般地，對于n個數，我們把它們的和與n之商叫做這n個數的算術平均數，簡稱平均數。
• 加權平均數。

3、衆數

一組數據中出現次數最多的那個數據叫做這組數據的衆數。

4、中位數

一般地，将一組數據按大小順序排列，處于最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

第七章 平行線的證明

1、平行線的性質

一般地,如果兩條線互相平行的直線被第三條直線所截,那麼同位角相等,内錯角相等,同旁内角互補.

也可以簡單的說成：

• 兩直線平行,同位角相等；
• 兩直線平行,内錯角相等；
• 兩直線平行,同旁内角互補。

2、判定平行線

兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行.

也可以簡單說成：

• 同位角相等兩直線平行
• 兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行；如果同旁内角互補,那麼這兩條直線平行.

其他兩條可以簡單說成：

• 内錯角相等兩直線平行
• 同旁内角相等兩直線平行

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