例一

下列四個說法：①兩點之間，線段最短；②連接兩點之間的線段叫做這兩點間的距離；③經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行；④直線外一點與這條直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．其中正确的個數有( )

A. 11個 B. 22個 C. 33個 D. 44個

【分析】
本題考查線段公理，兩點之間的距離的概念，平行公理，垂線段最短等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．根據線段公理，兩點之間的距離的概念，平行公理，垂線段最短等知識一一判斷即可．

解：

①兩點之間，線段最短，正确．
②連接兩點之間的線段叫做這兩點間的距離，錯誤，應該是連接兩點之間的線段的長度叫做這兩點間的距離．
③經過直線外一點，有且隻有一條直線與這條直線平行，正确．
④直線外一點與這條直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短．正确．
故選C．

例二

已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，點D從點A到點B沿AB運動，CD=x，則x的取值範圍是( )

故選：C．
由CD⊥AB時CD取得最小值、點D與點A重合時CD取得最大值求解可得．
本題主要考查垂線段最短，解題的關鍵是掌握從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短．

例三

如圖，OC平分∠AOB，點P是OC上一點，PM⊥OB于點M，點N是射線OA上的一個動點，若PM=5，則PNPN的最小值為______．

【分析】
本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，垂線段最短的性質，熟記性質是解題的關鍵．根據垂線段最短可得PN⊥OA時，PN最短，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，從而得解．
【解答】
解：當PN⊥OA時，PN的值最小，
∵OC平分∠AOB，PM⊥OB
∴PM=PN
∵PM=5
∴PN的最小值為5
故答案為5

例四

如圖，∠AOB=60°，點E在∠AOB的平分線上，EC⊥OA，且CE=1，點D是OB上的一個動點，當ED取最小值時，線段CD的長度為______．

解

解：作ED⊥OB于D，連接CD
∵點E在∠AOB的平分線上，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴DE=CE，∠AOE=30°，
∵OC=√3
在Rt△OCE和Rt△ODE中，
CE=DE

OE=OE
∴Rt△OCE≌Rt△ODE
∴OC=OD，又∠AOB=60°
∴△COD是等邊三角形，
∴CD=OC=√3
故答案為：√3．
作ED⊥OB于D，連接CD，根據直角三角形的性質求出OC，證明Rt△OCE≌Rt△ODE，得到OC=OD，證明△COD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質解答．
本題考查的是角平分線的性質、全等三角形的判定和性質、等邊三角形的判定和性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．

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