第三單元 圓柱和圓錐
一、圓柱
1、圓柱的形成:圓柱是以長方形的一邊為軸旋轉而得的。
圓柱也可以由長方形卷曲而得到。
兩種方式:
1.以長方形的長為底面周長,寬為高;
2.以長方形的寬為底面周長,長為高。
其中,第一種方式得到的圓柱體體積較大。
2、圓柱的高是兩個底面之間的距離,一個圓柱有無數條高,他們的數值是相等的
3、圓柱的特征:
(1)底面的特征:圓柱的底面是完全相等的兩個圓。
(2)側面的特征:圓柱的側面是一個曲面。
(3)高的特征 :圓柱有無數條高
4、圓柱的切割:
①橫切:切面是圓,表面積增加2倍底面積,即S 增 =2πr²
②豎切(過直徑):切面是長方形(如果h=2R,切面為正方形),該長方形的長是圓柱的高,寬是圓柱的底面直徑,表面積增加兩個長方形的面積,即S增=4rh
5、圓柱的側面展開圖:
①沿着高展開,展開圖形是長方形,如果h=2πr,則展開圖形為正方形
②不沿着高展開,展開圖形是平行四邊形或不規則圖形
③無論怎麼展開都得不到梯形
6、圓柱的相關計算公式:
底面積 :S底=πr²
底面周長:C底=πd=2πr
側面積 :S側=2πrh
表面積 :S表=2S底 S側=2πr² 2πrh
體積 :V柱=πr²h
考試常見題型:
①已知圓柱的底面積和高,求圓柱的側面積,表面積,體積,底面周長
②已知圓柱的底面周長和高,求圓柱的側面積,表面積,體積,底面積
③已知圓柱的底面周長和體積,求圓柱的側面積,表面積,高,底面積
④已知圓柱的底面面積和高,求圓柱的側面積,表面積,體積
⑤已知圓柱的側面積和高,求圓柱的底面半徑,表面積,體積,底面積
以上幾種常見題型的解題方法,通常是求出圓柱的底面半徑和高,再根據圓柱的相關計算公式進行計算
無蓋水桶的表面積=側面積+一個底面積油桶的表面積=側面積+兩個底面積
煙囪通風管的表面積=側面積
隻求側面積:燈罩、排水管、漆柱、通風管、壓路機、衛生紙中軸、薯片盒包裝
側面積 一個底面積:玻璃杯、水桶、筆筒、帽子、遊泳池
側面積 兩個底面積:油桶、米桶、罐桶類
二、圓錐
1、圓錐的形成:圓錐是以直角三角形的一直角邊為軸旋轉而得到的。圓錐也可以由扇形卷曲而得到。
2、圓錐的高是兩個頂點與底面之間的距離,與圓柱不同,圓錐隻有一條高
3、圓錐的特征:
(1)底面的特征:圓錐的底面一個圓。
(2)側面的特征:圓錐的側面是一個曲面。
(3)高的特征:圓錐有一條高。
4、圓錐的切割:
①橫切:切面是圓
②豎切(過頂點和直徑直徑):切面是等腰三角形,該等腰三角形的高是圓錐的高,底是圓錐的底面直徑,面積增加兩個等腰三角形的面積,
即S增=2rh
5、圓錐的相關計算公式:
底面積:S底=πr²
底面周長:C底=πd=2πr
體積:V錐=1/3πr²h
考試常見題型:
①已知圓錐的底面積和高,求體積,底面周長
②已知圓錐的底面周長和高,求圓錐的體積,底面積
③已知圓錐的底面周長和體積,求圓錐的高,底面積
以上幾種常見題型的解題方法,通常是求出圓錐的底面半徑和高,再根據圓柱的相關計算公式進行計算
三、圓柱和圓錐的關系
1、圓柱與圓錐等底等高,圓柱的體積是圓錐的3倍。
2、圓柱與圓錐等底等體積,圓錐的高是圓柱的3倍。
3、圓柱與圓錐等高等體積,圓錐的底面積(注意:是底面積而不是底面半徑)是圓柱的3倍。
4、圓柱與圓錐等底等高 ,體積相差2/3Sh
題型總結
①直接利用公式:分析清楚求的的是表面積,側面積、底面積、體積
分析清楚半徑變化導緻底面周長、側面積、底面積、體積的變化
分析清楚兩個圓柱(或兩個圓錐)半徑、底面積、底面周長、側面積、表面積、體積之比
②圓柱與圓錐關系的轉換:包括削成最大體積的問題(正方體,長方體與圓柱圓錐之間)
③橫截面的問題
④浸水體積問題:(水面上升部分的體積就是浸入水中物品的體積,等于盛水容積的底面積乘以上升的高度)容積是圓柱或長方體,正方體
⑤等體積轉換問題:一個圓柱融化後做成圓錐,或圓柱中的溶液倒入圓錐,都是體積不變的 問題,注意不要乘以1/3
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