第十一章 三角形

一、知識框架：

二、知識概念：

1.三角形：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.

2.三邊關系：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊.

3.高：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的高.

4.中線：在三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫做三角形的中線.

5.角平分線：三角形的一個内角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線.

6.三角形的穩定性：三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性.

7.多邊形：在平面内，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

8.多邊形的内角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的内角.

9.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

10.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線.

11.正多邊形：在平面内，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.

12.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面，

13.公式與性質：

⑴三角形的内角和：三角形的内角和為180°

⑵三角形外角的性質：

性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個内角的和.

性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的内角.

⑶多邊形内角和公式：

n邊形的内角和等于（n-2）·180°

⑷多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°.

⑸多邊形對角線的條數：從n邊形的一個頂點出發可以引（n-3）條對角線，

第十二章 全等三角形

第一節：全等三角形

形狀大小放在一起完全重合的圖形，叫做全等形。換句話說，全等形就是能夠完全重合的圖形。能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

兩個全等的三角形重合放在一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。兩個三角形全等用符号“≌”表示。如∆ABC≌∆A'B'C'。其中對應的邊是AB與A'B'、AC與A'C'、BC與B'C'。如若前一個三角形的邊的表示字母變換位置，那麼後一個三角形的對應字母也要變換位置，如CB與C'B'為對應邊。

全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。

第二節：三角形全等的判定

上節中知道全等三角形的三條對應邊，三個對應角均分别相等。那麼是否可以從逆推得三角形全等呢？

由于三角形具有穩定性，那麼畫圖得兩個對應邊分别相等的三角形，發現它們全等，對應角也相等。

再次，畫圖得兩個對應角分别相等的三角形，發現，它們的對應邊成比例，但是不一定相等，例如，兩個等邊三角形，角都相等，但是邊長不一定相等。

所以有判定一：三邊對應相等的兩個三角形全等（邊邊邊或SSS）。

畫圖得兩個角度相等，邊分别相等的兩個角，依次分别連接角的邊的端點，得兩個全等的三角形（兩邊與夾角确定第三邊）。

有判定二：兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（邊角邊或SAS）。

畫圖得兩條長度相等的線段，分别以線段兩端點為起點做射線，射線與線段的夾角對應相等，兩條射線相交與一點，形成兩個三角形。這兩個三角形全等。

有判定三：兩個角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（角邊角或ASA）。

畫圖得兩個角度和一邊對應相等的兩個角，分别從該邊向另一邊引一條射線，射線與另一邊的夾角對應相等。形成的兩個三角形全等。

有判定四：兩個角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（角角邊或AAS）。

畫圖得兩個直角三角形，它們的斜邊和一條直角邊對應相等，這兩個三角形全等。

有判定五：斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（斜邊、直角邊或HL）。

第三節：角的平分線的性質

作圖：已知∠AOB，求作∠AOB的平分線

做法：1、以O為圓心，适當長為半徑畫弧，交OA于M，交OB于N；2、分别以M、N為圓心，大于1/2MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的内部交于點C；3、畫射線OC。射線OC即為所求。

從射線OC上任選一點，分别作OA、OB的垂線段，沿着OC折疊，會發現OA、OB的垂線段完全重合。

故，有角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。

同理：角的内部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。

證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：

①确定已知條件（包括隐含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隐含的邊角關系）；

②回顧三角形判定，搞清我們還需要什麼；

③正确地書寫證明格式(順序和對應關系從已知推導出要證明的問題)。

可以逆推，由需要證明的結論一步步推導出已知條件。

第十三章 軸對稱

第一節軸對稱

如果一個圖形沿着一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠相互重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。可以說這個圖形關于這條直線（成軸）對稱。

把一個圖形沿着以一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那麼就說這兩個圖形關于這條直線對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊後重合的點是對應點，叫做對稱點。

把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形；把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱。

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等。

與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

第二節：畫軸對稱圖形

畫軸對稱圖形的步驟：1、選擇已知圖形的關鍵點；2、依次過它們做垂直于已知直線的垂線，截取直線兩邊的線段長度相等，則新點即是已知圖形的關鍵點關于直線對稱的點；3、依次連接各個點。所得圖形即為已知圖形的軸對稱圖形。

軸對稱圖形可以經過旋轉得出。

用坐标軸表示軸對稱：關于x軸對稱（x，y）與（x，-y）；關于y軸對稱（x，y）與（-x，y）。

第三節等腰三角形

有兩個邊相等的三角形叫做等腰三角形。

等腰三角形的性質：1）等腰三角形的兩個底角相等。簡言之：等邊對等角。

2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合。

等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等。簡言之：等角對等邊。

一種特殊的等腰三角形——等邊三角形，三條邊相等，三個角相等并且都為60º。

反推，三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角是60º的等腰三角形是等邊三角形。

在直角三角形中，如果一個銳角等于30º，那麼它所對的直角邊等于斜邊的一半

第十四章 整式的乘法與因式分解

第一節：整式的乘法

1．同底數幂的乘法

在應用法則運算時，要注意以下幾點:

①法則使用的前提條件是：幂的底數相同而且是相乘時，底數a可以是一個具體的數字式字母，也可以是一個單項或多項式；

②指數是1時，不要誤以為沒有指數；

③不要将同底數幂的乘法與整式的加法相混淆，對乘法，隻要底數相同指數就可以相加；而對于加法，不僅底數相同，還要求指數相同才能相加；

2．幂的乘方

3.積的乘方法則

一般地，對于任意底數a、b與任意正整數n，有

（n為正整數）。即積的乘方，等于把積每一個因式分别乘方，再把所得的幂相乘。

幂的乘方與積乘方法則均可逆向運用。

4.整式的乘法

1）單項式乘法法則:單項式相乘,把它們的系數、相同字母分别相乘，對于隻在一個單項式裡含有的字母，連同它的指數作為積的一個因式。

單項式乘法法則在運用時要注意以下幾點：

①積的系數等于各因式系數積，先确定符号，再計算絕對值。這時容易出現的錯誤的是，将系數相乘與指數相加混淆；

②相同字母相乘，運用同底數的乘法法則；

③隻在一個單項式裡含有的字母，要連同它的指數作為積的一個因式；

④單項式乘法法則對于三個以上的單項式相乘同樣适用；

⑤單項式乘以單項式，結果仍是一個單項式。

2）單項式與多項式相乘：就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即單項式乘以多項式，是通過乘法對加法的分配律，把它轉化為單項式乘以單項式。

單項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①單項式與多項式相乘，積是一個多項式，其項數與多項式的項數相同；

②運算時要注意積的符号，多項式的每一項都包括它前面的符号；

③在混合運算時，要注意運算順序。

3）多項式與多項式相乘：先用一個多項式中的每一項乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

多項式與多項式相乘時要注意以下幾點：

①多項式與多項式相乘要防止漏項，檢查的方法是：在沒有合并同類項之前，積的項數應等于原兩個多項式項數的積；

②多項式相乘的結果應注意合并同類項；

③對含有同一個字母的一次項系數是1的兩個一次二項式相乘

其二次項系數為1，一次項系數等于兩個因式中常數項的和，常數項是兩個因式中常數項的積。對于一次項系數不為1的兩個一次二項式（mx a）和（nx b）相乘可以得

第二節：乘法公式

1.平方差公式

兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差，即

其結構特征是：

①公式左邊是兩個二項式相乘，兩個二項式中第一項相同，第二項互為相反數；

②公式右邊是兩項的平方差，即相同項的平方與相反項的平方之差。

2.完全平方公式

兩數和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍，即

口決：首平方，尾平方，2倍乘積在中央。

結構特征：

①公式左邊是二項式的完全平方；

②公式右邊共有三項，是二項式中二項的平方和，再加上或減去這兩項乘積的2倍。

在運用完全平方公式時，要注意公式右邊中間項的符号，以及避免出現

這樣的錯誤。

添括号法則：添括号是，如果括号前面是正号，括到括号裡的各項都不變符号；

如果括号前面是負号，括到括号裡的各項都改變符号。即添正不變号，添負各項變号。

去括号法則同樣。

第三節：整式的除法

1. 同底數幂的除法法則：一般地，有

(a≠0，m、n都是正整數，且m>n)，即同底數幂相除，底數不變，指數相減。

在應用時需要注意以下幾點:

①法則使用的前提條件是“同底數幂相除”而且0不能做除數，所以法則中a≠0。

②任何不等于0的數的0次幂等于1，即

④運算要注意運算順序。

2.整式的除法

1）單項式除法單項式

單項式相除，把系數、同底數幂分别相除，作為商的因式，對于隻在被除式裡含有的字母，則連同它的指數作為商的一個因式；

2）多項式除以單項式

多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以單項式，再把所得的商相加。

特點：把多項式除以單項式轉化成單項式除以單項式，所得商的項數與原多項式的項數相同，另外還要特别注意符号。

第四節：因式分解

把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。因式分解與整式乘法是互逆關系。

因式分解與整式乘法的區别和

（1）整式乘法是把幾個整式相乘，化為一個多項式；

（2）因式分解是把一個多項式化為幾個因式相乘。

分解因式的一般方法：

1. 提公共因式法

如果一個多項式的各項含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而将多項式化成兩個因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。

如：ab ac=a（b c）。

概念内涵：

（1）因式分解的最後結果應當是“積”；

（2）公因式可能是單項式,也可能是多項式；

（3）提公因式法的理論依據是乘法對加法的分配律，即：ma mb-mc=m（a b-c）

易錯點點評：

（1）注意項的符号與幂指數是否搞錯；

（2）公因式是否提“幹淨”；

（3）多項式中某一項恰為公因式，提出後，括号中這一項為 1，不漏掉。

2. 運用公式法

如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。

主要公式：

（1）平方差公式：

（2）完全平方公式：

易錯點點評：

因式分解要分解到底。如

就沒有分解到底。

運用公式法：

（1）平方差公式：

①應是二項式或視作二項式的多項式；

②二項式的每項（不含符号）都是一個單項式（或多項式）的平方；

③二項是異号。

（2）完全平方公式：

①應是三項式；

②其中兩項同号,且各為一整式的平方；

③還有一項可正負,且它是前兩項幂的底數乘積的2倍。

因式分解的思路與解題步驟：

（1）先看各項有沒有公因式，若有，則先提取公因式；

（2）再看能否使用公式法；

（3）用分組分解法，即通過分組後提取各組公因式或運用公式法來達到分解的目的。

（4）因式分解的最後結果必須是幾個整式的乘積，否則不是因式分解；

（5）因式分解的結果必須進行到每個因式在有理數範圍内不能再分解為止。

第五節：補充

1.分組分解法:

利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法。

如：

概念内涵：

分組分解法的關鍵是如何分組，要嘗試通過分組後是否有公因式可提，并且可繼續分解，分組後是否可利用公式法繼續分解因式。

注意：分組時要注意符号的變化。

規律内涵：

把

分解因式時，如果常數項q是正數，那麼把它分解成兩個同号因數，它們的符号與一次項系數p的符号相同。

如果常數項q是負數，那麼把它分解成兩個異号因數，其中絕對值較大的因數與一次項系數p的符号相同，對于分解的兩個因數，還要看它們的和是不是等于一次項系數p。

易錯點點評：

（1）十字相乘法在對系數分解時易出錯；

（2）分解的結果與原式不等，這時通常采用多項式乘法還原後檢驗分解的是否正确。

第十五章 分式

經典例題

經典例題

知識點四：分式的約分

定義：根據分式的基本性質，把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分。

步驟：把分式分子分母因式分解，然後約去分子與分母的公因式。

注意：①分式的分子與分母為單項式時可直接約分，約去分子、分母系數的最大公約數，然後約去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若為多項式，約分時先對分子分母進行因式分解，再約分。

最簡分式的定義：

一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫做最簡分式。

經典例題

知識點五：分式的通分

第四節分式的通分：根據分式的基本性質，把幾個異分母的分式分别化成與原來的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

第五節分式的通分最主要的步驟是最簡公分母的确定。

最簡公分母的定義：取各分母所有因式的最高次幂的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母。

确定最簡公分母的一般步驟：

Ⅰ 取各分母系數的最小公倍數；

Ⅱ 單獨出現的字母（或含有字母的式子）的幂的因式連同它的指數作為一個因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指數最大的。

Ⅳ 保證凡出現的字母（或含有字母的式子）為底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母為多項式時，一般應先因式分解。

經典例題

知識點六:分式的四則運算與分式的乘方

① 分式的乘除法法則：

分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母。

式子表示為：

分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置後，與被除式相乘。

式子表示為:

② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

③ 分式的加減法則：

同分母分式加減法：分母不變，把分子相加減。式子表示為

異分母分式加減法：先通分，化為同分母的分式，然後再加減。式子表示為

整式與分式加減法：可以把整式當作一個整數，整式前面是負号，要加括号，看作是分母為1的分式，再通分。

④ 分式的加、減、乘、除、乘方的混合運算的運算順序

先乘方、再乘除、後加減，同級運算中，誰在前先算誰，有括号的先算括号裡面的，也要注意靈活，提高解題質量。

注意：在運算過程中，要明确每一步變形的目的和依據，注意解題的格式要規範，不要随便跳步，以便查對有無錯誤或分析出錯的原因。加減後得出的結果一定要化成最簡分式（或整式）。

經典例題

知識點七:整數指數幂

① 引入負整數、零指數幂後，指數的取值範圍就推廣到了全體實數，并且正整數幂的法則對負整數指數幂一樣适用。即

科學記數法

知識點八：解分式方程的步驟

⑴去分母，把方程兩邊同乘以各分母的最簡公分母。（産生增根的過程）

⑵解整式方程，得到整式方程的解。

⑶檢驗，把所得的整式方程的解代入最簡公分母中：

如果最簡公分母為0，則原方程無解，這個未知數的值是原方程的增根；如果最簡公分母不為0，則是原方程的解。

産生增根的條件是：①得到的整式方程的解；②代入最簡公分母後值為0。

知識點九:列分式方程

基本步驟

① 審—仔細審題，找出等量關系。

② 設—合理設未知數。

③ 列—根據等量關系列出方程（組）。

④ 解—解出方程（組）。注意檢驗

⑤ 答—答題。

經典例題

（有需要電子版（可編輯打印）的，可以私信我）

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