H24.如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，點E，F分别在AD，BC上，點A，C關于EF對稱，點P是邊DC上的動點。（1）連AF，CE，求證：菱形AFCE；（2）當△PEF的周長最小時，求DP：CP；（3）連BP交EF于點M，當∠EMP=45°時，求CP的長。

解讀：

題設“點A，C關于EF對稱”，這句話的言外之意，

矩形得對角線AC被EF垂直平分，即EF是AC的中垂線。

（1）要證菱形AFCE，隻要證明AC，EF互相垂直平分即可。

為此，連結AC，設AC，EF相交于點O。

由點A，C關于EF對稱得，EF垂直平分AC，

通過證明Rt△AOE≌Rt△COF得，點O也為EF的中點，

因而AC，EF互相垂直平分，則菱形AFCE；

（2）題設“當△PEF的周長最小時”，如何理解是重點。

△PEF中，E，F固定，點P是動點，按一般思路，

隻有當E，F，P三點共線時，其周長最小，

但本題中這三點是不可能的。

因而變通為：通過找點E（或F）關于DC的對稱點，

再通過連線找交點确定點P的位置。

為此，作點E關于DC的對稱點E’，連接FE’

交DC于點P，則此時△PEF的周長最小。

設菱形的邊長為x，則DE=4-x，再Rt△EDC中，

由勾股定理得，x^2-（4-x）^2=2^2,

解得x=5/2，4-x=3/2,

由△PDE’∽ △PCF得，

DP：CP=（4-x）：x=3/5

（3）設BP交AC于N，利用△NPC∽ △NBA

的對應邊成比例來求PC。

為此，作BQ//EF，交AC于點Q，

則有BQ⊥AC，當∠EMP=45°時，

又有OM=ON，QB=QN，

在Rt△ABC中，用勾股定理求AC=2√5，

同時利用AB×BC=AC×BQ求得，

BQ=QN=4√5/5,

利用射影定理（勾股定理）求AQ=2√5/5,

從而AN=AQ QN=6√5/5，NC=4√5/5，

再由△NPC∽ △NBA得，

PC:AB=NC:AN,

代值計算得，PC=4/3。

綜述：

1.本題綜合性極強，對分析問題能力，解決問題能力是個考驗。

2.知識點：

菱形的判定，軸對稱（将軍飲馬模型），全等，相似，勾股定理，射影定理，解方程等。

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