數學中研究最多的領域之一是素數的研究。素數領域存在很多非常困難的問題，即使是最偉大的數學家也沒有解決。今天，我們來看看數學中關于素數的5個最古老的問題，這些問題理解起來很容易，但卻沒有得到證實。

看一下6、28、496、8128這些數字.....

這些數字有什麼特别之處？我建議你試着尋找一個關于數字的美麗的基本性質。

如果你看一下這些數的真因數，你可能會注意到這個“美麗”的性質。

• 6 = 1 2 3,
• 28 = 1 2 4 7 14,
• 496 = 1 2 4 8 16 31 62 124 248
• 8128 = 1 2 4 8 16 32 64 127 254 508 1016 2032 4064

真因數之和等于數字本身的數字被稱為完全數。最早的關于完全數的研究已經消失在曆史潮流中。然而，我們知道畢達哥拉斯人（公元前525年）曾研究過完全數。

我們對這些數字了解多少呢？

歐幾裡德證明，對于一個給定的n，如果（2^n-1）是一個素數，那麼

是一個完全數。

再做些鋪墊。

梅森素數：梅森猜想，當n為素數時，所有形式為2^n-1的數都是素數。

我們知道這不是真的。例如，2^11-1 = 2047 = 23 × 89

開放性問題：是否有無限多的梅森素數？目前我們知道47個梅森素數。

• 歐拉在18世紀提出，任何偶數完全素數的形式都是2^(n-1)(2^n-1)。換句話說，偶數完全數和梅森素數之間有一個一一對應的關系。

正如你所看到的，自從歐幾裡德（約公元前300年）以來，我們就知道偶數完全數以及得到它們的方法。我們不知道的是，是否存在任何奇數完全數？（實際上，對奇數完全數的研究很少，在這個問題上幾乎沒有任何進展。

總而言之，完全數的研究提出了兩個長期未決的問題，即 "奇數完全數的存在 "和 "無限多梅森素數的存在"。

• 歐幾裡德（約公元前300年）首次證明了無限多素數的存在。

孿生素數是指一對(p, p 2)，使得p和p 2都是素數。

孿生素數猜想的确切來源沒有得到證實，孿生素數猜想的第一個陳述是由法國數學家Alphonse de Polignac在1846年給出的。然而，希臘數學家歐幾裡德給出了已知的最古老的證明，即存在無限多的素數，他猜想存在無限多的孿生素數。

2000多年了，這個問題的證明幾乎沒有進展。

我們對孿生素數掌握了哪些？

1. 有無限多的(p, p k)形式的素數對，其中k≤246。
2. 假設艾略特-哈伯斯塔姆猜想（ Elliott-Halberstam conjecture）成立，那麼有無限多的形式為(p, p k)的素數對，其中k≤6。這意味着，孿生素數（差值為2）、表親素數（差值為4）和性感素數（差值為6）的集合是無限的。

小插曲：為什麼把差值為6的一對素數稱為性感素數？因為6在拉丁文中的拼寫是“sex”，英文的意思是性感。

最偉大的在世數學家陶哲軒正在積極研究這個問題。

正多邊形是可構成的是指可以用圓規和直尺構成。例如，正五邊形可以用圓規和直尺構成，而正七邊形則不能。

可構成[的]（constructible）是1993年公布的數學名詞——百科

古希臘人知道如何構成邊數為n=3,4,5的正多邊形，他們也知道如何構成邊數為給定正多邊形兩倍的正多邊形。

所以他們可以構成正多邊形，其中邊數為n={6,12,24...4,8,16... 5,10,20...}，以此類推。

自然要問的問題是，什麼樣的n值是可構成的？

從希臘人第一次研究這個問題到1796年一個19歲的少年構成了一個正17邊形，這個問題的真正進展花了近2000年。這個孩子不是别人，正是卡爾-弗裡德裡希-高斯。幾年後，高斯想出了這個一般問題的答案。

我們所知道的可構成的正多邊形：

高斯研究指出，當且僅當n是2的幂和任何費馬素數的乘積時，就可以用圓規和直尺構成一個規則的正多邊形。

費馬素數的形式是：

因此，尋找所有可構成的多邊形的問題可簡化為尋找所有費馬素數。這是個獨立的開放性問題。

最前面的幾個費馬數（不是費馬素數）是3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297........截至2021年，已知的費馬素數隻有F0=3、F1=5、F2=17、F3=257和F4=65537。

費馬猜想，所有的費馬數都是素數。1732年，歐拉發現F5（4294967297）不是素數，它有因數641。從那時起，我們已經證明，n=5,6...31的費馬數是合數。在F4之後沒有已知的費馬素數。

當我們能夠找到關于費馬素數存在性的答案的那一天，我們就會得到所有可構成的正多邊形。

每個偶數都可以表示為兩個素數之和。

哥德巴赫弱猜想：

每個大于5的奇數都可以表示為三個素數之和。

這個猜想被稱為 "弱猜想"，因為如果強猜想被證明，那麼這個猜想也會是真的。不幸的是，自歐拉以來，經過幾代數學家的努力，我們也沒能證明這兩個猜想。

注：2013年，哈拉爾德-赫夫考特（ Harald Helfgott ）發表了哥德巴赫弱猜想的證明。截至2018年，該證明在數學界被廣泛接受，但還沒有在同行評議的期刊上發表。

我們所知道的哥德巴赫猜想

1. 1930年，有人證明，任何大于1的自然數都可以寫成不超過C的素數之和，其中C<800000。（哥德巴赫猜想中c=2）
2. 在過去的十年中，每個偶數n≥4實際上是不超過4個素數(即C≤6)的和。後來，這一結果被加強到C≤4。

有趣的是，哥德巴赫猜想是2007年西班牙電影《費馬的房間》中的部分情節。

免責聲明：文章的标題有誤導性。在展示了4個未解決的結果後，我想展示一個長期存在的數學問題（第5個問題），這個問題最近（2004年）已經被解決了。

假設給你一個數字n=10089886811898868001。

有人問你，這個數字是否是質數。你的直覺是這樣的。

算法A：檢查每個數字1<k<n，k能被n整除。如果n不是素數，那麼n将有一個因子k，使得k≤根号n，這個嗅覺用于優化算法。

算法B： 所以我們隻檢查1 <k ≤ √n。

首先，什麼是'P'？

如果存在一種 "快速 "算法，可以解決決策問題（返回 "是 "或 "否"），那麼就可以說一個決策問題在 "P "中。

這裡，決策問題是，給定n，n是素數嗎？

那什麼是快速算法？

• 對于任何給定的決策問題，你将有一個輸入大小（讓我們稱之為x）。
• 對于這問題，輸入大小是數字n的位數。
• 因此，對于上述n，x=20。
• 一般來說，對于一個給定的n，x=log(n)

如果一個算法能在f(x)步内解決決策問題，其中f是一個多項式函數，則該算法被稱為快速算法（多項式時間算法）。

如果我們看一下上面的算法，找出n是否是素數，我們就會發現我們在算法A中用了n步，在算法B中用了√n步。

由于我們的輸入大小是log(n)。

讓我們把一個給定輸入大小x的算法的步驟數稱為γ(x)

• 對于算法A：

• 對于算法B：

這兩個都是以x為單位的指數時間算法，400多年來，數學家們一直試圖弄清楚素數的決策問題是否可以用多項式時間來計算。事實證明，答案是 "是的"。2004年，當一位教授宣布這一結果時，這一消息在數學界（特别是數論界）快速傳播。

該算法（著名的AKS素數測試）被發表在一篇名為 "Primes Is In P "的論文中，它表明這個決策問題（n是否為素數），可以在log(n)^12步内解決。

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