我們中學時所學習到的平面幾何，可以說都屬于歐式幾何。其中平行線的定義包括三個基本特征:1.在同一平面内2.兩條直線,3.不相交。
而關于直線的定義是，在二維平面上的兩個點之間有且隻有一條直線，也就是我們常說的兩點确定一條直線。這些内容最早出現在《幾何原本》裡，由歐幾裡得編著。
那麼平行線相交到底是怎麼一回事呢？
這就要從兩個人說起，羅巴切夫斯基和黎曼，羅巴切夫斯基是非歐幾何的重要創始人，是他的質疑打破了人們對幾何的認知，從此走出歐式幾何，探索更廣闊的數學世界，後人稱他創造的數學門類為羅氏幾何。
而黎曼則是另一個非歐幾何中的重要代表，與以上兩者不同卻又不可分割，可以說是非歐幾何的重要奠基人之一，後人稱他創造的數學門類為黎曼幾何。
歐式幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種相近卻又不相同的幾何。在各自的理論推論下都構成了一個嚴密的公理體系，雖然說都是正确的，但依靠的數學體系是不同的。而在每一種體系中各有一套理論，有個很好的例子，三角形的内角和為180度，這是我們從小要記的在平面讨論的情況，羅巴切夫斯基打破常規地認為三角形的内角和可能小于180度，而黎曼的學說則是證明了三角形的内角和可以大于180度。我們把三角形畫在馬鞍面和球面上就很好理解了，但這些都是曲邊三角形，要想知道其中的定義和證明就要深入研究這兩種學說了。
回到平行線的問題，類比剛剛的三角形，我們發現，在曲面上的兩條直線，可能出現在平行的假設前提下相交或者相離的情況，甚至在一個球面上過兩點可以作無數條直線。這顯然不是我們用歐式幾何思維能理解的。
那麼你可能會覺得平行線相交肯定在現實中是不存在的，或者說是極為少見的，不過事實并不是這樣。
愛因斯坦在相對論的基礎上，構建了新的宇宙觀，其中就指出了平坦的時空隻不過是宇宙中小尺度上的特例，在大尺度的對比觀察下，時空是彎曲不規則的，非歐幾何可以說更貼合宇宙的實質。簡單說就是整個宇宙其實是凹凸不平的，存在着很大的曲率，之所以我們觀察得出的宇宙近乎平整，但也隻能說明我們觀察的尺度較小，從整個宇宙的尺度上來說，是不存在絕對的平行線，無限延長的兩條線會因為宇宙的曲率相交或者發散，所以平行線相交很多時候是普遍存在的。
就好比在研究地球時，例如航船航空這些路徑，就不是簡單的歐式幾何，我們所講的直線在地球這個整體看來有很大的弧度，這都歸結于球體的曲率。
總的來說，平行線能不能相交取決于它放在哪種數學體系中，而不是簡單的直覺判斷。
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