作者 | 高宏

數學概念是人腦對客觀事物的數量關系和空間形式的思維反映。數學概念雖然遠離了直觀的經驗世界，但卻更深刻地反映了客觀世界的本質。數學學科通常運用定義的形式來明确數學概念的内涵——對象 “質”的特征，及其外延——對象 “量”的範圍。

數學概念是建立數學理論和其它科學理論的基石，如果對數學概念所表達的内涵和外延出現誤解和誤用，則建立的科學理論就像基礎不牢的高樓大廈一樣，遲早會發生地動山搖般的坍塌。

寫出大量優秀數學科普作品而響譽世界的英國數學家斯圖爾特（Stewart）在《改變世界的17個公式》一書中，介紹了對人類社會發展影響最大的17個公式，但同時指出：B-S期權定價公式不僅改變了世界，創造了一個金額難以估量的金融衍生品市場，而且也造成了人類曆史上最大的金融體系崩潰。

被譽為中國金融數學第一人、獲得2020未來科學大獎“數學與計算機科學獎”的彭實戈院士，在科技部基礎研究司編寫的《中國基礎研究發展報告（2019年）》中也明确指出：Black-Scholes 期權定價理論是造成以前曆次重大金融危機的關鍵性原因。

本文将分析B-S期權定價公式因混淆“樣本函數”和“随機變量”基本概念，而導緻1987、1998和2007年三次重大金融危機的來龍去脈。

一、布朗運動理論

1827 年，英國植物學家布朗使用顯微鏡觀察懸浮在液體中的花粉微粒時，發現微粒總是在做無規則的運動。後來人們發現，這是一種廣泛存在于自然界、工程技術和人類社會中的動态随機現象，如空氣污染擴散、陀螺随機遊走和股票價格波動等。

1905年，愛因斯坦首先使用概率分析方法對布朗運動進行了定量研究，為統計熱力學和随機過程理論的發展奠定了基礎。

愛因斯坦認為布朗運動是由大量液體水分子的連續碰撞造成的，并從熱分子運動擴散方程推導出了大量一維布朗粒子的位置x在t時刻的概率密度函數

式中D為擴散系數，是物理學刻畫物質擴散速度的物理量。

上式表明，大量一維布朗粒子在t時刻的位置服從參數為（0，2Dt）的正态分布，表示布朗粒子随時間向偏離原點的方向擴散。

二、維納過程

1923年，維納根據愛因斯坦的布朗運動物理模型，歸納總結出了布朗運動的數學定義。

定義：設{W（t），t≥0}為随機過程，如果

（1）{W(t)，t≥0}為平穩獨立增量過程；

（2）W(0)=0；

（3）對任意的t＞s≥0，W(t)-W(s)～N（0，（t-s）），其中σ＞0為常數。

則稱W(t)是參數為的布朗運動，或維納過程（Wiener process）。

維納過程的定義是以随機變量W(t)的形式給出的，但是維納卻直接将W(t)當作單個布朗粒子的位移，給後來随機過程理論樣本軌道性質的研究埋下了隐患。

三、随機過程定義

随機過程使用二元函數X(ω,t)來描述動态随機現象在空間和時間的演變過程。

對于固定的時間t，X(ω,t)是狀态變量ω的函數，稱為随機變量（random variable），簡記為X(t)；對于固定的狀态ω，X(ω,t)為時間變量t的函數，稱為樣本函數（sample function）或樣本軌道（sample path），簡記為x(t)。

下圖為随機過程X(ω,t)、随機變量X(t)和樣本函數x(t)三者之間關系示意圖。

圖中的三條樣本函數曲線可分别看成是三個随機運動質點的位移時間圖像，每個質點在t時刻的位移x(t)是時間t的函數。

所有質點在t時刻的位置（圖中紅點）就是随機變量X(t)在t時刻的狀态。

随機過程X(ω,t)即可成是大量随機變量X(t)的集合，也可看成是所有樣本軌道x(t)的集合。

從上圖可以看出，随機變量X(t)和樣本函數x(t)描述的是完全不同的實際問題。随機變量X(t)用來描述大量質點在某一時刻的空間統計特性，樣本函數x(t)則用來描述一個質點的位移随時間變化過程。

四、《随機過程》教科書中的基本概念錯誤

根據随機過程的定義，樣本軌道x(t)是時間t的一般函數，随機變量X(t)是狀态變量ω的函數，因此，随機變量X(t)和樣本軌道x(t)是兩個具有不同對應法則、定義域及值域的單值函數，x(t)≠X(t)。

但是，《随機過程》教科書在研究樣本軌道x(t)的性質時，卻令X(t)= x(t) ，出現了讓人匪夷所思的基本概念錯誤。

《随機過程》教科書的這一基本概念錯誤，無形中使研究對象從一條樣本軌道改變為所有樣本軌道的集合，勢必會得出一系列與事實不符的結論。

以何書元教授為北大數院本科生編著的《随機過程》教材為例：

一粒花粉在時間t=0從原點出發作布朗運動，将這粒花粉稱為質點，用X(t)表示t時花粉的位置，則質點位移X(t)具有以下性質：

（a）獨立增量性；

（b）平穩增量性；

（c）對稱性；

（d）有限性。

一粒花粉的位移X(t)是時間t的函數，隻能被抽象為随機過程中的一條樣本軌道，而非t時刻的随機變量。

何書元教授在推導一粒花粉位移X(t)的性質時，沿用維納的研究方法，将質點位移X(t)當作了随機變量，無形中導緻研究對象從一粒花粉變為大量花粉，因而得出了“布朗運動樣本軌道服從正态分布”的謬誤。

事實上，布朗運動樣本軌道的集合服從正态分布，單個的布朗運動樣本軌道并不服從正态分布。

下圖為1000個布朗粒子的樣本軌道，所有樣本軌道在t時刻的取值服從（0，t）正态分布，但是對于其中的任何一條樣本軌道，都随時間向遠離原點的方向擴散，顯然不具有正态分布的對稱性和集中性。

五、B-S期權定價公式與金融危機

《随機過程》教科書将樣本軌道x(t)當作随機變量X(t)的概念錯誤，給其它學科帶來了災難性的影響。

觀察股票價格s(t)随時間t的變化過程，s(t)是時間t的函數，可看作是固定ω時的随機過程S(ω,t)，因此，股票價格随時間t的變化過程隻能被抽象為随機過程S(ω,t)中的一條樣本軌道s(t)，而非t時刻的随機變量S(t)。

《金融數學》将股票價格s(t)抽象為随機變量S(t)，導緻《金融數學》研究對象發生嚴重錯位，不僅得出了股票價格服從對數正态分布的謬誤，而且用描述樣本軌道集合統計特性的标準差來度量一條樣本軌道的波動程度，因此建立的股票價格模型無法正确描述和預測股票價格的波動程度及風險，将其用于指導金融市場實踐時，必然會給金融市場帶來巨大的風險和災難。

1973年，Black和Scholes基于幾何布朗運動随機變量模型，推導出了著名的BS期權定價公式。由于從理論上解決了金融衍生産品的定價問題，BS期權定價公式對華爾街各種金融創新工具和金融創新産品的面世起到了重大推動作用，使華爾街金融市場獲得了空前規模的發展。

但是，由于BS期權定價公式用随機變量的統計參數（波動率）來刻畫股票價格的波動程度和風險，因此在大規模應用于金融市場時，竟成為直接導緻1987、1997和2007年三次重大金融危機的關鍵原因。

從物理學角度看，物體溫度是度量物體分子運動平均動能的統計參數，沒有人會用溫度來描述一個分子的動能。但是BS期權定價公式卻用随機變量的标準差來度量一條樣本軌道的波動程度，這就如同用溫度來度量一個分子的動能一樣荒謬。

普林斯頓大學數學博士、科普作家麥肯齊（Mackenzie）在《無言的宇宙（隐藏在24個數學公式背後的故事）》書中明确指出：1987、1998和2007年三次重大金融危機都與B-S期權定價公式的正态分布假設有關。

暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布（Taleb）在《金融時報》上發表了題為“破壞市場的僞科學”專欄文章，指出金融數學通過創造風險而非降低風險來危害金融系統，認為金融數學理論獲得諾貝爾獎不僅是對科學的侮辱，而且一直使金融體系面臨崩潰的風險。

六、随機過程學科面臨重大範式變革

“與實際結合，問題驅動”是随機過程等應用數學學科發展的不竭動力和重要特征。《随機過程》教科書要想正确闡明随機過程樣本軌道的本質特征及其變化規律，必須要糾正将樣本軌道混淆為随機變量的基本概念錯誤，因此，未來随機過程學科将面臨重大範式變革，全新的随機過程樣本軌道理論将會在時間函數基礎上進行重建，這也為中國的随機過程學科進入世界一流前列提供了千載難逢的曆史性發展機遇。

作者簡介

高宏，畢業于清華大學精密儀器系，分别獲工學學士、碩士和博士學位，留校任教從事測試信号分析與處理的教學與科研工作，現任紫光股份有限公司CTO，北京市科協委員。

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