作者 | 大小吳

來源 | 大小吳的數學課堂

今天大小吳來和大家讨論一種神奇的數：完全數。

我們知道，一個數不管它是素數還是合數，它總有因數。我們記一個正整數的所有因數之和為，那麼容易知道對于素數來說，必然有

對于合數來說，必然有

古希臘數學家将與進行比較（實際上，即為一個數的真因數之和，真因數是包括1但不包括這個數本身的因數），稱滿足

的數為虧數；

滿足

的數為盈數；

滿足

的數為完全數。

舉幾個簡單的例子，對于正整數4、12、6來說，有

則說明4是虧數、12是盈數、6是完全數。

易知，所有的素數必然是虧數。

我們可以對虧數、盈數、完全數這三種數總結如下：

可以将“虧”、“盈”理解為将真因數之和相對于自身作差而得到的“缺損”和“盈餘”。而恰好既不“缺損”也不“盈餘”，真因數之和等于自身的數即為“完全數”，又稱“完美數”，“完備數”。

完全數是非常稀少的，最小的完全數是6，接下來是28，因為

兩位數中的完全數有且隻有28，而在三位數中僅有496是完全數，往後越來越稀少。數學家笛卡爾曾公開預言：“完全數是不會多的，好比人類一樣，要找一個完美的人亦非易事。”

由于目前已知的完全數6、28、496都為偶數，我們現在就來研究一下是偶數的完全數，把偶數分解素因數，得到

令

則

這裡假定偶數是完全數，則

另一方面，易證因數和函數是積性函數，因此

又因為

因此

即

因此

這樣我們得到了的所有因數之和。

在這裡，易知必然是的因數（否則的話，就不是一個整數）。進一步通過觀察可知，等式右邊有且隻有兩個的因數，且其中一個已經是它本身，因此隻能是一個素數，且

也就是說，是一個能用的形式來表示的素數。那麼一開始的偶數完全數可表示為：

其中滿足為素數。

對此，我們可以加以驗證：

4 完全數與梅森素數

如此一來，我們隻需考慮什麼時候是素數即可。我們用替換，研究形如的素數，這樣的素數稱為梅森素數，常見的梅森素數有：

我們發現：當為素數時，似乎也都是素數，這是因為如果不是素數，則必有

這裡均是大于1的正整數，因此

即

因式分解得

因此必然也不是一個素數。

但是反之，當是素數時，卻未必是一個素數，比如：

梅森素數非常難尋找。目前人類借助計算機，也僅發現51個梅森素數，最大的是，有24862048位。

因此，實際上，隻要找到梅森素數就找到了相對應的完全數，例如：

這也就是為什麼完全數那麼稀少的原因。

參考文獻[1]（日）遠山啟.數學女王的邀請——初等數論入門[M].逸甯譯.人民郵電出版社，2020.

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