最近看到著名的教育領域創作者李永樂老師做了一期視頻，視頻開頭李永樂老師說有個小朋友在證明三角形的内角和等于180度時，舉例等腰直角三角形和正三角形的内角和等于180度之後，說證明完畢，被老師說錯誤，但是李永樂老師說他是對的。

這個視頻引起了他跟另外一位知名學者王小東的網絡罵戰。我懷着好奇心看完了李永樂老師的證明過程，他用了一個叫例證法的東西。

什麼叫例證法呢，具體可以去看李永樂老師的視頻，其實就是用了兩個定理：

（1） 定理一：若f（x）是關于x的不超過n次的多項式，要證明f（x）=0是個恒等式，隻需要找出n 1個滿足條件的x即可證明。

（2） 定理二：若函數f（x1，x2，……xk）是關于x1，x2……xk的函數，各個變量的最高次分别是n1，n2，……nk，則要證明f（x1，x2，……xk）=0是個恒等式的話，隻需要找出（n1 1）（n2 2）……（nk 1）個例子即可。

對于以上兩個定理，沒有疑問，是正确的。

以上是引理，在引出上面兩個定理之後，李老師開始了他的正式證明過程。

首先，構建平面直角坐标系，把三角形ABC的邊AB放在x軸上，并且把A點作為原點，AB的長度設為單位長度1，C點變量，三點坐标分别是A（0，0）、B（1，0）、C（x，y）。取BC中點M，連接AM并延長到D，使AM=MD，連接CD；取AC中點N，連接BN并延長到E，使BN=NE，連接CE。這樣通過構建全等三角形的方法，把證明三角形内角和等于180度，變成了證明E、C、D三點共線。

設D（x1，y1），E（x2，y2），那麼要證明三點共線，變成了要證明

（y1-y）/（x1-x）=（y-y2）/（x-x2）是個恒等式

變形一下，就是要證明：

（x-x2）（y1-y）-（y-y2）（x1-x）=0 （*）是個恒等式。

由于M是BC中點，所以M點橫坐标xm=1/2（x 1），縱坐标ym=1/2（y 0）；

由于M也是AD的中點，所以x1=2xm，y1=2ym，

所以因變量x1是關于x的一次函數，y1是關于y的一次函數；

同理，x2是關于x的一次函數，y2是關于y的一次函數。

所以，要證明的恒等式是關于x和y的二元一次函數，根據前面的引理，要證明這個等式是個恒等式，隻需要找出2*2=4個例子就可以。

然後李永樂老師舉了四個例子：（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）

用着四個特殊的例子，來證明了滿足條件，所以是恒等式，證明完畢。

以上證明是有問題的，為什麼呢？

我們來直接來看李永樂老師舉的這四個例子吧。

一、點（0，0）跟（1，0），李永樂老師說這兩個分别跟A點和B點重合，所以，“顯然滿足”。其實，李永樂老師一筆帶過的這兩點，“顯然不滿足”！

為什麼呢？一個函數，基本的要素之一是要有定義域。在這個函數中，y的取值，一定不能等于0，否則，C點跟AB在一條直線上，這根本不是一個三角形。不能構成三角形的兩個點，怎麼能用來證明三角形内角和等于180度呢？

所以，這兩個點，不能用。這屬于定義域沒搞清楚。

二、對于點（0，1）和點（1，1），李永樂老師說，顯然這個時候構成的是等腰直角三角形，等腰直角三角形的内角和是180度，所以，滿足條件。

朋友們，看上去是不是很無懈可擊？是的，我們都知道，等腰直角三角形内角和等于180度，好像沒毛病吧？可是，你們有沒有想過，真的能這麼用嗎？

等腰直角三角形，給我們的條件就兩個，一個是等腰，一個是直角。翻譯過來就是，頂角是90，兩個底角相等，沒了。

有的朋友直接條件反射，兩個底角就是45度啊。是的，你知道得很多，你還知道三角形的内角和等于180度呢，直接不用證明了，拍拍手回家可好？

等腰直角三角形的兩個底角等于45度，是從三角形的内角和等于180度算出來的！是用（180-90）/2算出來的，沒有三角形内角和等于180度這個大前提的話，我們并不能從等腰直角三角形這個條件知道兩個底角的是45度的，我們隻知道頂角等于90度，兩個底角相等，再多一點信息都沒有了。

李永樂老師這是在用要證明的結論，反過來作為證據證明結論了！

等腰直角三角形的底角等于45度，這個不是公理，不是定理，不是定義，是計算結果，是以三角形内角和等于180度作為前提計算出來的結果。

綜上，李永樂老師舉例的這四個點，沒有一個能證明結論的！

三、你在哪裡被帶偏了？

朋友們，看過那個視頻的朋友，看到這裡有沒有發現，你被帶偏了。

請跳出以上舉例的這四個點的框框，你們是不是忘記了李永樂老師要證明的是什麼了？

他是要用例證法，舉出四個例證，證明上面的（*）式是個恒等式。

什麼意思呢，意思是，這四個點的坐标要代入（*）式去，得出等式成立的結果，才能證明等式是個恒等式。可是，你們發現沒有，李永樂老師根本沒有一次把以上四個點中的任意一個的坐标代入他弄出來的這個（*）式去進行哪怕一次計算！

發現了嗎？我們被他偷換概念了，他根本沒有去用他在這個視頻中推崇的例證去法證明這個（*）式是個恒等式！

從他列完他那個（*）式之後，之後列舉例子的所謂證明過程，就跟那個式子半毛錢關系都沒有了，完全用你潛意識當中已經存有的概念，讓你自己腦補，覺得他說的是對的。朋友，這是數學證明嗎？

他隻是偷換了個概念，列舉了一堆公式，然後夾帶了四個特殊點，有兩個點不能組成三角形，另外兩個點用我們所知道的常識（等腰直角三角形的兩個底角都是45度），來讓我們在潛意識裡認同他要的結果，而這個常識是他所需要證明的結果推導出來的。什麼意思呢？意思就是，實際上，他什麼都沒證明！

是的，你沒看錯，關于三角形内角和等于180這個問題，李永樂沒有去證明，他隻是用一個長長的視頻，成功讓你忘記了他要幹什麼。

看完視頻之後，你會發現他給你安利了例證法，可是，他沒有用到例證法來證明。意不意外？

四、那，問題在哪？

問題就在于，他根本沒辦法用例證法舉例來證明（*）式是個恒等式。

那麼，（*）是個恒等式嗎？

是的，而且一定是。證明很簡單，把C點跟D點的坐标求出來就是了。

我們用李永樂老師沒算完的東西算一下就會發現

x1=x 1，y1=y

x2=x-1，y2=y

把這個代入（*）式，顯然直接成立，化簡之後就是0=0了，根本不用例證。

你舉什麼例證都很難去證明，可是你不用例證，好好去稍微做個計算就會發現，咿，算一下就成立了。

而且，更細心的你有沒有發現，y1=y2=y，什麼意思呢？C、D、E三點的縱坐标相等，也就是說，三點在同一條平行于x軸的直線上。再翻譯一下，就是說，我們根本不用去計算那個（*）是不是恒等式，直接計算出C、D兩點的縱坐标就知道三點共線了。意不意外，驚不驚喜？

五、證明過程到底是給什麼人看的

這個證明過程，開篇是說小朋友要證明三角形内角和等于180度，需要證明這個的，大概就是初中生吧，高中應該不會有老師要學生證明這個。

那麼，這個視頻用到了什麼知識呢？那兩個定理在大學之前應該沒人見過，三角形全等是初中的内容，平角直角坐标系妥妥的高中知識了。提出問題的是初中生，如果也是個初中生來看這個視頻，他看了之後，能發現李永樂老師這個視頻的這些問題嗎？會不會拿着這個視頻就回去跟老師吵呢？

最後，我想說點什麼。李永樂老師是個優秀的老師，在互聯網世界對小孩子的影響力是巨大的，他說一句小孩子沒錯，可能孩子們就會認為自己就是對的了。可是，他的這個證明，卻實實在在什麼都沒證明。作為一個有影響力的教育領域創作者，還是要更多對自己發布的東西負責的，話真的不能亂說。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!