很多人想運用麥克勞林公式，通過筆算将ln10精确到指定的數位，比如精确到十萬分位。因為常用函數lgx的導函數1/(xln10)中，就含有ln10這個常數。因此在運用麥克勞林公式求常用對數的近似值時，免不了要求ln10的值。

不知道有多少人想當然的，認為運用ln(1 x)的麥克勞林公式，将x=9時的誤差值限定在10^(-5)以内，就可以求得ln10精确度在十萬分位的近似數。其實這樣是行不通的。老黃就以探究的态度，給大家分析一下，為什麼這樣做行不通。

首先，明确麥克勞林公式：

ln(1 x)=x-x^2/2 …… (-1)^(n-1)x^n/n (-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx)^(n 1)), (0<θ<1, x>-1).

當x=9時，要使|Rn(9)|=|(-1)^n9^(n 1)/((n 1)(1 9θ)^(n 1))|=9^(n 1)/((n 1)(1 9θ)^(n 1))<10^(-5), 事實上是做不到的。這是因為9^(n 1)/((n 1)(1 9θ)^(n 1))的最小值是0.9^(n 1)/(n 1)，要使0.9^(n 1)/(n 1)<10^(-5)，就要取n=70. 況且無法保證|Rn(9)|取得最小值。隻要|Rn(9)|的取值大于1/(n 1)，就不存在任何n，使|Rn(9)|<10^(-5).

或許的确有|Rn(9)|<1/(n 1), 但就算那樣，n也是極有可能要取到幾百甚至幾千那麼大的，筆算起來也特别麻煩。因此這條路是行不通的。這裡可以得出結論，隻有當麥克勞林展開式的餘項|Rn(x)|<a/(n 1)(a是常數)時，才有可能運用麥克勞林展開式求近似數。而且a越大,n的取值就越大。這也是麥克勞林公式逼近法的一個局限性吧。

那麼ln10到底應該怎麼運用麥克勞林公式來取近似數呢？老黃下面提供一個方法，和大家探究一下。其實也是挺麻煩的，但畢竟是可以做到的。

隻要進行轉換：ln10=10ln1.25 ln1.073741824，然後分别利用麥克勞林公式，求ln1.25和ln1.073741824的近似數就可以了。注意，ln1.25要精确到10^(-6)。

當x=0.25時，要使|Rn(0.25)|=|(-1)^n0.25^(n 1)/((n 1)(1 0.25θ)^(n 1))|<0.25^(n 1)/(n 1)<10^(-6)，隻要取n=9, 就有：

ln1.25約=0.25-0.25^2/2 0.25^3/3-0.25^4/4 0.25^5/5-0.25^6/6 0.25^7/7-0.25^8/8 0.25^9/9約=0.223144.

同理，當x=0.073741824時, 要使|Rn(0.073741824)|=|(-1)^n0.073741824^(n 1)/((n 1)(1 0.073741824θ)^(n 1))|<0.073741824^(n 1)/(n 1)<10^(-5)，隻要取n=4, 就有：

ln1.073741824約=0.073741824-0.073741824^2/2 0.073741824^3/3-0.073741824^4/4約=0.07115.

所以ln10約=10X0.223144 0.07115=2.30259.

以上老黃都盡量把n取大一點，以保證最後的結果的精确度，這個ln10的近似數，以後老黃肯定是要用到的。雖然現在有計算器，非常方便。但是數學計算的樂趣，并不是計算器所能夠代替的。

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