本次詳細讨論為什麼剛體有6個自由度。

一、機械運動

唯物辯證主義告訴我們，一切物質都處于永恒運動之中。物質的運動形式多種多樣：物體内的原子在不停地運動，原子核外的電子 不停地圍繞着原子核旋轉；地球繞着自己的軸心自轉，同時圍繞着太陽運行；每一個生物有機體，都在不斷地新陳代謝。

一個物體相對于另一個物體的位置（或是一個物體的某些部分相對于其他部分的位置），随着時間而變化的過程，叫做機械運動，這是最簡單又最基本的運動。

二、質點

任何物體都有一定的大小、形狀、質量和内部結構。一般地說，物體運動時，其内部各點的位置變化常是各不相同的，而且物體的大小和形狀也可能發生變化。如果根據所研究的問題，可以将物體的大小和形狀（因為不起作用或是作用不顯著）忽略，就可以将物體看作一個具有質量而沒有大小和形狀的理想物體，稱為質點。這裡，“點”的含義和歐氏幾何學上的“點”相同，即沒有大小（即沒有長、寬、高）而隻有位置，不可分割的圖形。

三、參考系

在自然界裡，找不到絕對靜止的物體。為了要描述一個物體的機械運動，總得選擇另一物體或幾個彼此之間相對靜止的物體作為參考，然後研究這個物體相對于這些物體是如何運動的。這些被選作參考的物體叫做參考系。隻有在選取某一确定的參考系後，才有可能明确地描述一個物體的運動。同一物體的運動，在選取的參考系不同時，對該物體的運動的描述也會不同。描述雖不同，但說的卻是一回事。

為了從數量上确定物體相對于參考系的位置，需要在參考系上選用一個固定的坐标系。一般在參考系上選定一點作為坐标系的原點，取通過原點并标有長度的線作為坐标軸。由互相垂直的三條坐标軸（x,y,z軸）組成的直角坐标系最為常用。其他還有極坐标系、球坐标系或柱坐标系等。

四、運動方程

空間的概念是與物體的體積和物體位置的變化聯系在一起的。時間所反映的則是物理事件的順序性和持續性。

在一個選定的參考系中，當質點運動時，它的位置P(x, y, z) 是按一定規律随時刻t而改變的，所以位置是t的函數。這個函數（稱為質點的運動方程）可以表示為：

x=x(t), y=y(t), z=z(t)

根據這個運動方程，就能确定任一時刻質點的位置，也能求出質點在任意時刻的位矢、速度和加速度。

五、剛體

對于機械運動的研究，隻局限于質點的情況是很不夠的。處于固态的物質，有一定的形狀和大小。根據牛頓第一定律（任何物體都保持靜止或沿一直線作勻速運動的狀态，直到作用在它上面的力迫使它改變這種狀态為止），其他物體的作用（即力）是物體改變運動狀态的原因。

任何固體在外力作用下，其形狀和大小都要發生變化。在物理學中，對于形狀和大小變化不顯著的物體，常通過“剛體”概念将問題簡化。剛體是一種特殊的質點系統，無論它在多大外力的作用下，系統内任意兩質點間的距離始終保持不變。

六、剛體的平動和轉動

當剛體運動時，如果剛體内任何一條給定的直線，在運動中始終保持它的方向不變，這種運動叫做平動。幾何知識告訴我們，兩點确定一條直線。向量的概念告訴我們，可以用有方向的線段來表示向量（既有大小，又有方向的量。如位移、速度、力等）。在Oxyz空間直角坐标系中，對于任給向量r，都可以找到對應點M，使OM=r。用i, j, k分别表示x,y,z軸上的單位向量，則可得到向量的坐标分解式：r=xi yj zk。以OM為對角線、三條坐标軸為棱，可以作出一個長方體，見圖1。在圖1中，向量與x軸的夾角a、與y軸的夾角b（圖中未畫出）、與z軸的夾角g（圖中未畫出）稱為向量r的方向角。根據餘弦的定義和已知的OM和OP線段長度，很容易求出a值。同樣的方向可求出b和g值。總之，直線的方向要用三個夾角才能完整表示。平動概念中要求的給定直線的方向不變，就是要求方向角（三個夾角）不變。

顯然，剛體平動時，在任意一段時間内，剛體中所有質點的位移都是相同的，而且在任何時刻，各個質點的速度和加速度也都是相同的。所以，剛體内任何一個質點的運動，都可以代表整個剛體的運動。

圖1. 向量的方向角

剛體運動時，如果剛體的各個質點都繞同一個直線作圓周運動，這種運動便叫做轉動，這一直線叫做轉軸。如果轉軸是固定不變的，就叫做定軸轉動。剛體在定軸轉動時，剛體上各點都繞同一直線（即轉軸）作圓周運動，各質點的軌迹是半徑大小不一的圓周，而軸本身在空間的位置不變。

所謂圓周運動，可以這樣理解。知道了前文提到的質點的運動方程，就能确定任一時刻質點的位置。從質點的運動方程中消去時間t，即可求得質點的軌迹方程。如果軌迹是直線，就叫做直線運動；如果是曲線，就叫做曲線運動。作為特例，圓周運動是曲線運動的特例，其軌迹為圓，如機器上齒輪的運動，或是圓上的一段弧，如鐘擺的運動。

七、自由度

從概念上說，所謂物體系統的自由度，就是決定這個系統在空間的位置所需要的獨立坐标的數目。可在空間自由運動的質點，其位置需要三個獨立坐标如x,y,z來決定，因此該質點有3個自由度；隻能在平面或曲面上運動的質點，隻有2個自由度；隻能在直線或曲線上運動的質點，就隻有1個自由度。

剛體的一般運動可看作是平動和轉動的疊加。也就是說，對剛體來說，平動和轉動兼而有之。一個剛體在空間的位置可決定如下（參見圖2）：

（1）要指出剛體上某定點（例如質心。注意不是質點）的位置，需要三個獨立坐标來決定。參見圖2中的C(x, y, z)。

（2）單憑一個點，顯然不能确定剛體在空間的位置。我們來考慮一條通過C點的直線CA。根據C(x,y,z)，顯然可以在直線CA上确定一個點O，使OA的長度等于(x^2 y^2 z^2)^0.5。任選一個過直線CA的平面，過O點可作與CA夾角為q（theta）的直線OZ。将OZ作為空間直角體系的Z軸，這樣也同時确定了坐标系的OXY平面，因為過O點且與Z軸垂直的平面是唯一的。至此隻引入了一個獨立變量q（theta）。把直線OC投影到平面OXY上，将投影與x軸的夾角定義為j（fai）（另一個獨立變量），則x軸也得以确定。這樣，空間直角坐标系就确定了。倒過來看，就是兩個獨立坐标變量q和j确定了直線CA的方位。

（3）剛體還可以繞直線CA轉動，可用角度f（psi）來表示。

所以，總的說來，自由剛體共有6個自由度：3個平動自由度和3個轉動自由度。

圖2. 剛體的6個自由度

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