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無理數能直接證明嗎

圖文更新时间:2025-11-16 10:55:20

π和e是數學中随處看見，經常一起使用一起出現的兩個神奇數字，前面我們用三角函數的的連分式證明了π是無理數。

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）1

本篇我們将會看到一個最簡單而又最美麗的關于e是無理數的證明，在這個證明裡我們用到的是e的這個無窮級數。

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）2

其中所有的階乘的含義都是

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無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）4

注意每一個階乘都是比它小的階乘的倍數，後面我們會用到這個概念

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）5

我們要證明e是無理數了，我們首先假設e是分數a/b，a和b都是正整數，然後我們要證明這會導緻矛盾，這樣就說明我們的假設e是分數是錯誤的

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）6

我們假設e是分數（有理數），也就是a/b等于這個無窮級數

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）7

現在我們用分母b來定下一個中間項，把無窮級數分成兩部分，第一部分是1/b!,加上無限的尾巴

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）8

我們上述已經說了任何階乘是所有比它小的階乘的倍數，我們能把這部分和加在一起，成為一個分母為b!的分數

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）9

且後面的的無限項是一個很小的數

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）10

首先這些項的分母都是公約數b!，我們拿出b!，這些東西顯然都是正數和

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）11

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）12

我們很容易證明紅色區域比等比級數的和1/b要小，有興趣的朋友可以自己證明下

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）13

可以寫成簡明的形式

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）14

所以我們推出了a/b可以寫成這個形式

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無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）16

這顯然是不可能的，能更好的看出矛盾，我們給兩邊乘上b!

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）17

化簡整理就得到

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無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）19

明顯，左邊是整數，右邊是一個整數加上一個介于0到1之間的分數

無理數能直接證明嗎（證明e是無理數最美妙的方法）20

這顯然是完全不可能的，所以e是無理數，不能寫成兩個整數之比。

這個方法非常美妙，再次展現了數學的無窮魅力。

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