初中數學課程标準修改後，教材中四點共圓知識已經删除掉了，但這樣一件強悍且使用簡單的武器，我們還是有必要去了解的，近年來對于壓軸題以幾何為核心的考區來說，有時用到解題更為簡潔方便，由此應該理解掌握。可以說傳統幾何知識“四點共圓”是直線形與圓之間度量關系或位置關系相互轉化的媒介，是平面幾何一個十分有力的工具。

1．操作與探究

我們知道：過任意一個三角形的三個頂點能作一個圓，探究過四邊形四個頂點作圓的條件．

（1）分别測量圖1、2、3各四邊形的内角，如果過某個四邊形的四個頂點能一個圓，那麼其相對的兩個角之間有什麼關系？證明你的發現．

（2）如果過某個四邊形的四個頂點不能一個圓，那麼其相對的兩個角之間有上面的關系嗎？試結合圖4、5的兩個圖說明其中的道理．

由上面的探究，試歸納出判定過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件．

【解析】：本題拓展性地考查了确定圓的條件，圓内接四邊形的性質．圓内接四邊形的性質是溝通角相等關系的重要依據，在應用此性質時，要注意與圓周角定理結合起來．在應用時要注意是對角，而不是鄰角互補．

（1）對角互補（對角之和等于180°）；

∵矩形、正方形的對角線相等且互相平分，

∴四個頂點到對角線交點距離相等，

∴矩形、正方形的四個頂點可在同一個圓上；

四個頂點在同一個圓上的四邊形的對角互補．

（2）圖4中，∠B ∠D＜180°．圖5中，∠B ∠D＞180°．

過四邊形的四個頂點能作一個圓的條件是：對角互補（對角之和等于180°）．

變式．（1）已知一個矩形ABCD，能否畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上？試一試．

（2）已知一個等腰梯形ABCD，能否畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上？試一試．

（3）已知一個平行四邊形ABCD，能否畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上？

【解析】：（1）已知一個矩形ABCD，其對角之和為180°，

所以能畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上，．

（2）已知一個等腰梯形ABCD，其對角之和為180°，

所以能畫出一個圓，使它的四個頂點都在同一個圓上．

（3）已知一個平行四邊形ABCD，鄰角之和為180°，

不能畫出一個圓．

2．定義：隻有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．

（1）如圖，損矩形ABCD，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段______．

（2）①在損矩形ABCD内是否存在點O，使得A、B、C、D四個點都在以O為圓心的同一圓上？如果有，請指出點O的具體位置；

②如圖，直接寫出符合損矩形ABCD的兩個結論（不能再添加任何線段或點）．

【解析】△ADC和△ABC都是直角三角形，且有共同的斜邊，直角三角形的三個頂點在以斜邊為直徑的圓上．因而ABCD四個頂點共圓．

（1）線段AC；

（2）①在損矩形ABCD内存在點O，使得A、B、C、D四個點都在以O為圓心的同一個圓上，O是線段AC的中點．

②ABCD是圓内接四邊形；∠ADB＝∠ACB．

3．問題探究：

（一）新知學習：

圓内接四邊形的判斷定理：如果四邊形對角互補，那麼這個四邊形内接于圓（即如果四邊形EFGH的對角互補，那麼四邊形EFGH的四個頂點E、F、G、H都在同個圓上）．

（二）問題解決：

已知⊙O的半徑為2，AB，CD是⊙O的直徑．P是弧BC上任意一點，過點P分别作AB，CD的垂線，垂足分别為N，M．

（1）若直徑AB⊥CD，對于弧BC上任意一點P（不與B、C重合） （如圖一），證明四邊形PMON内接于圓，并求此圓直徑的長；

（2）若直徑AB⊥CD，在點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中，證明MN的長為定值，并求其定值；

（3）若直徑AB與CD相交成120°角．

①當點P運動到弧BC的中點P1時（如圖二），求MN的長；

②當點P（不與B、C重合）從B運動到C的過程中（如圖三），證明MN的長為定值．

（4）試問當直徑AB與CD相交成多少度角時，MN的長取最大值，并寫出其最大值．

【解析】：（1）如圖一，

∵PM⊥OC，PN⊥OB，∴∠PMO＝∠PNO＝90°，

∴∠PMO ∠PNO＝180°，

∴四邊形PMON内接于圓，直徑OP＝2；

（2）如圖一，∵AB⊥OC，即∠BOC＝90°，

∴∠BOC＝∠PMO＝∠PNO＝90°，

∴四邊形PMON是矩形，∴MN＝OP＝2，

∴MN的長為定值，該定值為2；

（3）①如圖二，∵P1是弧BC的中點，∠BOC＝120°

∴∠COP1＝∠BOP1＝60°，∠MP1N＝60°．

∵P1M⊥OC，P1N⊥OB，∴P1M＝P1N，

∴△P1MN是等邊三角形，∴MN＝P1M．

∵P1M＝OP1•sin∠MOP1＝2×sin60°＝√3，∴MN＝√3；

②設四邊形PMON的外接圓為⊙O′，連接NO′并延長，

交⊙O′于點Q，連接QM，如圖三，

則有∠QMN＝90°，∠MQN＝∠MPN＝60°，

在Rt△QMN中，sin∠MQN＝MN/QN，

∴MN＝QN•sin∠MQN，

∴MN＝OP•sin∠MQN＝2×sin60°＝2×√3/2＝√3，

∴MN是定值．

（4）由（3）②得MN＝OP•sin∠MQN＝2sin∠MQN．

當直徑AB與CD相交成90°角時，∠MQN＝180°﹣90°＝90°，MN取得最大值2．

4．閱讀理解：

如果同一平面内的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為"四點共圓"．證明"四點共圓"判定定理有：1、若線段同側兩點到線段兩端點連線夾角相等，那麼這兩點和線段兩端點四點共圓；2、若平面上四點連成的四邊形對角互補，那麼這四點共圓．例：如圖1，若∠ADB＝∠ACB，則A，B，C，D四點共圓；或若∠ADC ∠ABC＝180°，則A，B，C，D四點共圓．

（1）如圖1，已知∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BAD＝65°，則∠ACD＝______；

（2）如圖2，若D為等腰Rt△ABC的邊BC上一點，且DE⊥AD，BE⊥AB，AD＝2，求AE的長；

（3）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，等邊△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在邊AB，AD，BC上，若AE＝3，求EF的長．

【解析】：（1）∵∠ADB＝∠ACB＝60°，∴A，B，C，D四點共圓，

∴∠ACD＝∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝180°﹣60°﹣65°＝55°，

故答案為：55°；

（2）在線段CA取一點F，使得CF＝CD，如圖2所示：

∵∠C＝90°，CF＝CD，AC＝CB，

∴AF＝DB，∠CFD＝∠CDF＝45°，∴∠AFD＝135°，

∵BE⊥AB，∠ABC＝45°，∴∠ABE＝90°，∠DBE＝135°，∴∠AFD＝∠DBE，

∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，

∵∠FAD ∠ADC＝90°，∠ADC ∠BDE＝90°，

∴∠FAD＝∠BDE，

在△ADF和△DEB中，∠FAD＝∠BDE，AF=BD, ∠AFD＝∠DBE，

∴△ADF≌△DEB（ASA），∴AD＝DE，

∵∠ADE＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE＝√2AD＝2√2；

（3）作EK⊥FG于K，則K是FG的中點，連接AK，BK，如圖3所示：

∴∠EKG＝∠EBG＝∠EKF＝∠EAF＝90°，

∴E、K、G、B和E、K、F、A分别四點共圓，

∴∠KBE＝∠EGK＝60°，∠EAK＝∠EFK＝60°，

∴△ABK是等邊三角形，

∴AB＝AK＝KB＝4，作KM⊥AB，則M為AB的中點，

∴KM＝AK•sin60°＝2√3，

∵AE＝3，AM＝1/2AB＝2，∴ME＝3﹣2＝1，

共圓結構是幾何應用技巧結構中比較常見的一種模型，是幾何中的倒角常用工具，解題常用模型利器，共圓模型的應用往往成為解題的關鍵步驟和技巧，用好共圓結構，會發現解題過程中柳暗花明，遇到很多難以轉化的複雜過程或難點時，會有豁然開朗的感覺。

共圓結構的模型第二類模型就是同等異補結構用得比較多，具體是指在平面中，由一條邊在這條邊的同側對着兩個相等的角度，在這條邊的異側對着兩個互補的角度，則考慮構造共圓結構，共圓後，一般是利用其轉化角度，尤其同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是90度的應用，也有一些利用特殊角度或邊長位置和數量關系轉化邊長的關系。總之，構造共圓後，就是在圓裡利用的知識點和常規幾何條件解決.

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