我們來看一下這道題。圖形如下所示：
已知AB=3，BC=4，∠ABC=90°，△ABC内有一個内切圓，切點為D、E、F，圓心為G，求在内切圓的半徑。
解題思路：
已知直角三角形ABC的三條邊的邊長，要求内切圓半徑，可連接G點與D、E、F點，觀察半徑GD、GE、GF與三條邊的聯系。由∠ABC=90°，切點為D、E、F，故四邊形DGEB為正方形，即内切圓的半徑等于BD和BE，其中BD=BE。另外，根據勾股定理可得AC=5。
連接AG、CG，由角平分線的定義可知，AD=AF，CF=CE，那麼可以聯立方程得到如下方程組：
AD BD=3
BD CE=4
AD CE=5
解以上方程組可得：BD=1。故該直角三角形ABC的内切圓半徑為1。
為了獲得通用的求三角形内切圓的半徑的公式，我們可做如下推廣，如下圖所示：
已知三角形的邊AB=a，BC=b，AC=c，△ABC内有一個内切圓，切點為D、E、F，圓心為G，求在内切圓的半徑。
解題思路：
連接G點與D、E、F、A、B、C點，看看圓的半徑與三角形的邊、角有什麼聯系。根據角平分線的定義可知，AG、BG、CG分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分線，且AD=AF，BD=BE，CE=CF，△ADG與△AFG、△BDG與△BEG、△CEG與△CFG是全等直角三角形。此外，令内切圓的半徑為r，則以上6個小直角三角形的面積之和為△ABC的面積，再根據餘弦定理可得到△ABC的面積計算式如下：
三角形的周長為a b c=2×（AD BE CF）
由以上兩式，最終可得三角形内切圓半徑定理為：如果三角形的三條邊的邊長分别為a、
b、c，則該三角形的内切圓半徑為
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