高等數學微分方程知識點?微分方程是高等數學最具工程應用價值的數學表達式之一，比如量子力學中著名的薛定谔方程就是一個較為複雜的偏微分方程，今天小編就來聊一聊關于高等數學微分方程知識點?接下來我們就一起去研究一下吧!

高等數學微分方程知識點

微分方程是高等數學最具工程應用價值的數學表達式之一，比如量子力學中著名的薛定谔方程就是一個較為複雜的偏微分方程。

凡含有一元函數的導數算子的方程就都可以看成是常微分方程，一般形式如下：

F(x,y,(d/dx)y,(d²/dx²)y,...,(dⁿ/dxⁿ)y) = 0

其中d/dx,d²/dx²,....,dⁿ/dxⁿ是1至n階導數算子，F(...)是個n 2元函數。此方程也叫n階常微分方程，或簡稱n階微分方程。

可見，一般的n階微分方程可能是個非常複雜的玩意兒。凡是符合上述方程的函數y=f(x)都是此方程的解，顯然其解并非唯一。

現在分析一個較為簡單的方程形式：

(d/dx)y = F(x,y)

這是個解出y一階導數的一階常微分方程。從這個方程的形式可知，其給出了函數y=f(x)在坐标點(x,y)上的導數（即切線斜率）F(x,y)。顯然可以想象，此方程的解是X-Y坐标空間上互不相交的線族，每條線（具體一個解）在點(x,y=f(x))上的切線斜率是F(x,y)。如果給出條件(x0,y0=f(x0))，則就可以确定此方程的唯一解。

由于一般類型的微分方程無普适的求解方法，所以通常把微分方程分成幾個類型，然後針對不同類型分别給出相應的求解方法。下面簡單羅列且給出說明。

一）直接可分離變量的一階微分方程

(d/dx)y = u(x)/v(y)

其中u和v分别是x和y的函數。顯然分離變量得微分形式

v(y)dy = u(x)dx

兩邊求不定積分

∫v(y)dy = ∫u(x)dx

如果v(y)和u(x)存在解析原函數V(y)和U(x)，則有

V(y) = U(x) C

此方程确定了隐函數y。

二）一階齊次方程

(d/dx)y = u(y/x)

設t=y/x，即y=tx。則有

(d/dx)y = x (d/dx)t t = u(t)

(d/dx)t = (u(t) - t)/x

此方程可分離變量。

三）可化為齊次的方程

(d/dx)y = (a1 x b1 y c1)/(a2 x b2 y c2)

其中a1,a2,b1,b2,c1,c2為常數。解略

四）一階線性微分方程

(d/dx)y P(x) y = Q(x)

如果Q(x)≡0，此方程稱為一階齊次線性微分方程，否則為非齊次。顯然，一階齊次線性微分方程是可分離變量的，可求得其通解。通過對齊次方程通解中的常數作常數變易可求得相應的非齊次方程的解。具體略。

五）伯努利方程

(d/dx)y P(x) y = Q(x) yⁿ

顯然，一般這不是個線性方程（含yⁿ）。但若令z = y¹⁻ⁿ，那麼有

(d/dx)z = (1-n) y⁻ⁿ (d/dx)y = (1-n)(Q(x) - P(x) z)

這是個線性方程。

六）常系數線性微分方程

(dⁿ/dxⁿ)y p(1) (dⁿ⁻¹/dxⁿ⁻¹)y ... p(n-1) (d/dx)y p(n) y = Q(x)

其中p(i)是常數（i=1,..,n）。如果Q(x)≡0，此方程為齊次，否則為非齊次。

這類方程中的二階常系數線性微分方程在物理和電路中有着廣泛的應用，所以将另外詳細分析之。

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