微積分是什麼樣的?微積分到底是什麼？（開頭的這一段攻擊性太強，我把它删了），下面我們就來說一說關于微積分是什麼樣的?我們一起去了解并探讨一下這個問題吧!

微積分是什麼樣的

微積分到底是什麼？

（開頭的這一段攻擊性太強，我把它删了。）

微積分到底是什麼？這是一個長期懸而未決，又長期被人們忽視的問題。另一方面它又是不斷地被人們誤解，也長期得不到正确解答的問題。有人會說，我們的數學都已經發展到如此先進的地步了，怎麼你會說出這樣的話，怎麼能說我們還說不清楚什麼是微積分呢？在這裡，我不得不明白地告訴你，這是事實。

我們一直說不清楚數是什麼，而微積分是建立在數的基礎上的。那麼我們說不清什麼是微積分就一點也不奇怪了。當然也有人會說，你怎麼知道我們說不清什麼是數呢？抱歉，我必須把真實的情況告訴你，那便是，沒有人能夠說清。你也不要試圖在集合論中去找，不要在實分析中找，也不要在戴德金分割中找。更不要在任何一種你看不懂的涉及到高等數學理論的專著或論文中去找。那些理論著作或者論文中，沒有一句話曾經告訴過我們數是什麼，（若有的話，在百度中一定會收錄這樣的詞條）。如果你認為數是什麼的問題本身就不是一個簡單的問題，而是需要用一系列的并且更高級的來說明它。那麼，對不起，我告訴你，他們說的那不是數。

數是古人發明的。如果連今天的我都看不懂的話，那麼我不敢相信，在還沒有發明出系統的語言文字之前的古人，在發明數的時候會基于我們今天也看不懂的用語言文字講述的理論。這不符合邏輯，更不符合曆史。數的理論怎麼可能基于數學呢？明明是數學基于數，怎麼會反過來說，數要基于數學呢，而且還是高等數學？

跟你說了這麼多作為鋪墊之後，現在我就可以正式回答這個問題了。我們的數有兩種，一種是算術中的數，就像我們小學課本，一個蘋果加兩個蘋果等于三個蘋果這樣的事情。還有一種數是分析中的數。就是我們到了中學以後開始用數軸所表示的數。在這裡我們一定要搞清楚，用蘋果表示的數和用數軸表示的數是兩種數。那麼基于此，關于數是什麼的問題，我們也要分兩個層次來定義：

1、算術中的數是那些與被計數的自然事物的規模的“等量物”的符号。小學課本上畫着的三個蘋果，在中間那個蘋果的正下方标注的那個符号“3” 就是算術中的數。在這裡，書上畫着的三個蘋果，就是所有”三個在一起所構成的任何自然事物的規模”的等量物，而“3”是這個等量物的符号。于是“3”這個符号，既可以表達三個蘋果，同時也可以表達三個子女或三隻獵物。

2、簡單說，分析中的數是那些人為規定的”單位元素”所構成“計劃事物”的規模的”等量物”的符号。數軸上的單位線段就是這樣的單位元素，單位線段所構成的直線就對應着計劃事物的規模。進一步說，在分析中，數是那些數軸上與被計數事物的規模一一對應的單位線段規模的邊界的符号。從形式上看，數是數軸上的單位線段之間的虛拟界限的符号。于是你會看到，數軸上的“3”标注在第3與第4線段的界線處，而不是像算術中那樣，把它标注在三條線段中間（即第二條線段的中間）的正下方。

微積分的問題隻出現在分析中的數，算術中的數與微積分沒有任何關系。但是我們現在所有涉及微積分的理論都是在混淆了這兩種數的前提下所做出的。我們時而把數作為算術中的數來分析（例如點的移動），時而又試圖通過這種算術性的分析來獲得分析中的數的結果。因此，微積分作為一項數學應用技術來講，它的理論基礎就是不穩固的，且始終存在着矛盾（主要集中在無窮這個問題上），這便是我們始終說不清楚什麼是微積分的重要原因。但這并不影響我們在這脆弱的數學基礎上建造起一座高聳入雲的數學大廈，當然這也離不開曆代數學家為此目的而設計出的一系列可謂巧奪天工的支撐架構以及令人眼花缭亂的加固措施。其實，高等數學之“高”則恰恰體現在這裡。脆弱的基礎、巍峨的大廈、紛繁複雜的技術措施，而後者正是為前面的一對矛盾而付出的“代價”。

算術中的數和分析中的數，本質上的區别在于算術中的數的單位是固定的（其中自然數的單位始終為1）。而分析中的數的單位是不确定的，具體是幾，則由函數法則來決定的。考慮無論是算術中的數還是分析中的數，都是有單位的，因此，我們可以說函數是分析中最普遍的數。

在我們的數學中，函數有很多種。在此我們隻考慮其中兩種：一種是直線函數（一次函數），一種是曲線函數（二次函數）。直線函數可以理解為單位固定的函數，也就是說它的函數法别是由常數規定的。曲線函數可以理解為單位随着自變量變化而變化的函數。當二次函數的系數為1時，我們可以理解為，它的函數法則是由自變量決定的，即，這個函數的單位就是該函數的自變量。

一次函數和二次函數是兩種不同的數。基于自然數是數學中最基本的數，也可以說自然數是特殊的一次函數，而數學的終級目的又都是為了用一次函數的實數“值”來表達客觀事物的規模。但在自然界中，有些事物規模的值不是按照一次函數的序級排列的，例如自由落體的速度，以及液體随深度的增而引起壓強變化的值等等。

哦，我還想在這兒說一件更“離奇”的事情：根據我的研究，人類（最起碼也包括陸地上的哺乳動物）的大腦對于時間量的認知就是按照二次函數的序級排列的，但我們對于時間的計量用的卻是一次函數，也就是說我們時刻生活在時間曲線的切點上。日常生活中的“時間點”這一概念，對于我們來說就是關于時間的微分。而這也可以作為解釋為什麼我們隻能活當下，不能回到過去，更不能跨越至未來的道理。空間大緻也是如此。這些，或許還能夠解釋經典物理學的主要公式中為什麼總會出現時間和空間的平方之類的問題。

好了，明确了這些之後，我們就可以指出這個問題答案了：微積分到底是什麼？答案是：為了滿足人們總是希望用直線函數（一次函數）上的值來表述曲線函數（二次函數）上的值的合理趨勢，由曆代數學家所發明的一門數學技巧。

問題就這麼簡單嗎？對，就這麼簡單。事實上人類發明使用了很多諸如此類的技巧，但我們并不知道其中的原理。比如我們用鋤頭鋤地，我們并不知道那裡面有加速度與能量之間的關系的問題，也不知道還涉及到所謂杠杆原理。

微積分作為一項實用技術，我們當然可以用常識的例子來解釋一下它。比如我們想讓一個物體沿力的相反方向運動，我們可以設置一個定滑輪來實現這個目的。牛頓-萊布尼茨的微積分就相當于這樣一個定滑輪功能，它為我們實現“用一次函數上的值來表達二次函數上的值”的這一意圖提供了可能。可是牛頓-萊布尼茨微積分就像定滑輪那樣，它可以改變用力的方向，但并不省力，也就是說它并不完善。柯西-維爾斯特拉斯的微積分，是相當于在這項技術的基礎上又增加了一個動滑輪，使得物體既滿足向力的相反方向運動，又達到了省力的效果。實際的情況是，牛頓-萊布尼茨的微積分永遠也達不到極限，而柯西-威爾斯特拉斯的微積分則随着極限的增加，精度也在增加，當達到極限時，精度也達到極限。因此嚴格來講，“δ-ω”這樣的一種說話方式所表達出來的意思，隻是技術規範上的一種提高。以鋤地的那個例子來講，是教你如何鋤地的那個農夫會說話了，也就是語言表達水平提高了。他現在說的話，能讓你很快的就能明白，地應該如何鋤才更省力，鋤出來的效果還更好。用更現實一點例子講，就是藍翔的老師授課水平更高了。但是鋤頭的工作原理應該由物理老師來講解，因為那其中涉及到勢能、加速度、杠杆原理、壓強等一系列物理學知識。農夫是不會給你講這些理論的。你從數學老師那裡得不到微積分到底是什麼的答案。這樣的答案應該由我這樣的民間數學哲學家來回答。這樣的回答，不管它對還是不對，畢竟這是由專業的人幹出來的專業事。什麼意思呢？這意思就是說，你可以從數學老師那裡學到如何進行微積分，但微積分到底是什麼，這個事，你得從我這裡學。

一提起數是什麼的問題，總會有人見意我去看看這個去，去看看那個去，還有人見意我去wiki看一下“nature number”詞條。以及可以參考一下《A Readable Introduction to RealMathematics》一書。但沒有一個人指出我哪句話說錯了。更沒有一個人從文獻上，哪怕百度上粘過一句話來，告訴我什麼是數。如果真的有人粘過一句話來。我就可想象了，我想象着回到一萬年前的美索布達米亞人的祖先那裡，問問它們看得懂嗎。因為據有文字的曆史考證所知，我們現在所用的數最早記錄在楔形文字的泥闆上。也就是說數是由美索布達米亞的先人們發明的。我問他們，你們能不能根據這些理論創造出現代人仍然使用着的數來？

數是什麼？這個問題沒那麼複雜。前面我們曾經提到數學之所以高級，不在于它的建築高度有多高，而在于這個高大的建築是建立在脆弱的基礎之上的。高就體現在為解決這一矛盾而采取的那些紛繁複雜的技術措施。現在，我們朝相反的方向思考，如果我們深入數學的基礎。找出基礎上存在的漏洞，把它填補上。使我們現在的數學大廈建立在一個堅實的基礎之上，是否就可以撤掉這些繁瑣的支撐，還數學以樸素的本來面目，讓現在的所謂高等數學使小學生就能看得懂？我相信，這樣的目的一定能夠實現。

一個大學生跟我說，在講數學導論的時候，教授的第一句話就是“忘掉過去所學的所有數學”。我對他講，教授的這句話是什麼意思你知道嗎？你小學學到的算術是一門技能，到中學你所學的所學的數學都是理論。而到了大學，又要開始跟你講述技巧了，開始讓你接受”無限趨近于……”這樣的故事。如果你還抱着你在中學學習數學時那樣的嚴謹态度，你就不能理解：”怎麼無限趨近于，無限趨近于着，最後就到了呢？”你要是聰明一點的話，你馬上就會意識到，“不！這不是數學。”當然，老師比你要聰明的多，他提前就要封堵住你這個念頭，于是便有了那句話：“忘掉過去所學的所有數學”。懂嗎？這裡更深一層的含義，你懂了嗎？老師隻是要求你忘掉過去所學的所有數學，但是并不會告訴你為什麼要這樣做。看過我上邊的話，希望你多少能夠明白老師為什麼會這樣說的道理。在我的回答裡，我說了那位老師應該說而不會說的話。他不會。

在數學發展的漫長曆史長河中，所謂函數（包括一次函數、二次函數），己經有無數的科學家做過全方位的不同深度的探索。這些探索所構成的知識，尤其所涉及的内容，遠比你和你的老師所了解的知識的總和要多的多的多，我們需要更寬的知識面。不要認為我們己經懂的得的那點東西有多麼的重要，尤其在我們探索“函數到底是什麼”這一問題上，我們知道的太少，甚至我們的前輩們也沒有在這方面給我們留下什麼明确的指示。

另外，我在這裡也必須要強調，我說的那些話與現在的數學理論，從本質上看，沒有任何沖突，也可以說對數學一點傷害都沒有。這也是我的本意。如果你聽着它别扭，那僅僅是你沒聽說過而已。不能因為你沒聽說過，就認為它是錯的。而你若相信我說的這些話，對于你理解數學的基礎是有幫助的，當然不是每個人都有這樣的興趣。

說了這麼多，不知道你能不能正确地理解，但不管怎麼樣吧，隻要你能夠看出我不反，也沒有反數學，這就夠了。

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