關于前文《算式謎》中題1、題4的補充說明

　　2019年1月12日星期六

　　題1如下：

　　補充如下：

　　這道題的結果是：142857×3＝428571。

　　這道題是怎麼編出來的？

　　1÷7＝0.142857142857142857……，循環節是142857；

　　2÷7＝0.285714285714285714……，循環節是285714；

　　3÷7＝0.428571428571428571……，循環節是428571；

　　4÷7＝0.571428571428571428……，循環節是571428；

　　5÷7＝0.714285714285714285……，循環節是714285；

　　6÷7＝0.857142857142857142……，循環節是857142；

　　7÷7＝0.999999999999999999……，商其實是1，轉換角度可得循環節是999999。

　　于是有：

　　142857×1＝142857

　　142857×2＝285714

　　142857×3＝428571

　　142857×4＝571428

　　142857×5＝714285

　　142857×6＝857142

　　142857×7＝999999

　　積恰好等于上面的循環節。

　　這七道乘法算式中，可以出題的隻有：

　　142857×3＝428571

　　142857×7＝999999

　　因為：

　　乘以1沒什麼懸念，積完全等于另外一個因數。

　　乘以2、4、6，積的個位數字隻能是2、4、6、8、0，根據積的個位數字不能唯一确定是“幾”乘以2、4、6。每種個位數字都有可能的兩種情況，比如個位數字是8，有可能是2乘以4、9，或4乘以2、7，或6乘以3、8。

　　乘以5更不用說了，積的個位數字隻有0或5。如果個位數字是0，有可能是5乘以0、2、4、6、8；如果個位數字是5，有可能是5乘以1、3、5、7、9。

　　滿足能根據“積的個位數字”唯一反推“乘法口訣”的隻有乘以3和乘以7。

　　乘以7的時候，一個因數142857與積999999在數字上完全沒有相同的部分，失掉了很多趣味性。

　　故而，這道題目是：142857×3＝428571

　　題4如下：

　　開放的中國盼奧運×□＝盼盼盼盼盼盼盼盼盼

　　補充如下：

　　前文給出的解題思路中有四個關鍵的等式：

　　等式1：盼盼盼盼盼盼盼盼盼＝盼×111111111

　　等式2：111111111＝3×3×37×333667

　　等式3：開放的中國盼奧運×□＝盼×3×3×37×333667

　　等式4：開放的中國盼奧運×□＝盼×111111111

　　四個等式中，又以“等式2”最為重要。

　　一個自然的問題是：9個1能不能改為更一般地n個1？

　　讓我們來看一些有趣的結論：

　　1個1：1既不是質數，又不是合數

　　2個1：11是質數

　　3個1：111＝3×37

　　4個1：1111＝11×101

　　5個1：11111＝41×271

　　6個1：111111＝3×7×11×13×37

　　7個1：1111111＝239×4649

　　8個1：11111111＝11×73×101×137

　　9個1：111111111＝3×3×37×333667

　　10個1：1111111111＝11×41×271×9091

　　11個1：11111111111＝21649×513239

　　12個1：111111111111＝3×7×11×13×37×101×9901

　　13個1：1111111111111＝53×79×265371653

　　14個1：11111111111111＝11×239×4649×909091

　　15個1：111111111111111＝3×31×37×41×271×2906161

　　以上“1個1”直到“15個1”的“質因數分解”，是我根據自己寫的“素數判斷程序”得出的。

　　以下“16個1”直到“49個1”卻是我在ExcelHome論壇“浸泡”時，由大神northwolves給出的。大神的結論往往在不經意間就會被引用到。在此，向northwolves表示敬意。

　　16個1：1111111111111111＝11×17×73×101×137×5882353

　　17個1：11111111111111111＝2071723×5363222357

　　18個1：111111111111111111＝3×3×7×11×13×19×37×52579×333667

　　19個1：1111111111111111111是質數

　　20個1：11111111111111111111＝11×41×101×271×3541×9091×27961

　　21個1：111111111111111111111＝3×37×43×239×1933×4649×10838689

　　22個1：1111111111111111111111＝11×11×23×4093×8779×21649×513239

　　23個1：11111111111111111111111是質數

　　24個1：111111111111111111111111＝3×7×11×13×37×73×101×137×9901×99990001

　　25個1：1111111111111111111111111＝41×271×21401×25601×182521213001

　　26個1：11111111111111111111111111＝11×53×79×859×265371653×1058313049

　　27個1：111111111111111111111111111＝3×3×3×37×757×333667×440334654777631

　　28個1：1111111111111111111111111111＝11×29×101×239×281×4649×909091×121499449

　　29個1：11111111111111111111111111111＝3191×16763×43037×62003×77843839397

　　30個1：111111111111111111111111111111＝3×7×11×13×31×37×41×211×241×271×2161×9091×2906161

　　31個1：1111111111111111111111111111111＝2791×6943319×57336415063790604359

　　32個1：11111111111111111111111111111111＝11×17×73×101×137×353×449×641×1409×69857×5882353

　　33個1：111111111111111111111111111111111＝3×37×67×21649×513239×1344628210313298373

　　34個1：1111111111111111111111111111111111＝11×103×4013×2071723×5363222357×21993833369

　　35個1：11111111111111111111111111111111111＝41×71×239×271×4649×123551×102598800232111471

　　36個1：111111111111111111111111111111111111＝3×3×7×11×13×19×37×101×9901×52579×333667×999999000001

　　37個1：1111111111111111111111111111111111111＝2028119×247629013×2212394296770203368013

　　38個1：11111111111111111111111111111111111111＝11×909090909090909091×1111111111111111111

　　39個1：111111111111111111111111111111111111111＝3×37×53×79×265371653×900900900900990990990991

　　40個1：1111111111111111111111111111111111111111＝11×41×73×101×137×271×3541×9091×27961×1676321×5964848081

　　41個1：11111111111111111111111111111111111111111＝83×1231×538987×201763709900322803748657942361

　　42個1：111111111111111111111111111111111111111111＝3×7×7×11×13×37×43×127×239×1933×2689×4649×459691×909091×10838689

　　43個1：1111111111111111111111111111111111111111111＝173×1527791×1963506722254397×2140992015395526641

　　44個1：11111111111111111111111111111111111111111111＝11×11×23×89×101×4093×8779×21649×513239×1052788969×1056689261

　　45個1：111111111111111111111111111111111111111111111＝3×3×31×37×41×271×238681×333667×2906161×4185502830133110721

　　46個1：1111111111111111111111111111111111111111111111＝11×47×139×2531×549797184491917×11111111111111111111111

　　47個1：11111111111111111111111111111111111111111111111＝35121409×316362908763458525001406154038726382279

　　48個1：111111111111111111111111111111111111111111111111＝3×7×11×13×17×37×73×101×137×9901×5882353×99990001×9999999900000001

　　49個1：1111111111111111111111111111111111111111111111111＝239×4649×505885997×1976730144598190963568023014679333

　　對上面令人眼花瞭亂的數字中隐藏的結論稍做整理：從“1個1”到“49個1”中，隻有3個質數，分别是“2個1”、“19個1”、“23個1”。

　　（重要程度★★★★★）

　　與本次“題4補充”何幹？

　　題4中，一個八位數（各個數位上數字互不相同），乘以一個未知的一位數，得一個九位數，且這個九位數的各個數位上的數字都相同，甚至還等于“八位因數”百位上的數字。

　　這是“題4”的出題特點。

　　顯然，從“互不相同”的條件出發，一個因數最大選擇“十位數”（一共有“0～9”十個數字嘛），也即積最大考慮“盼”乘以“11個1”。

　　自“2個1”到“11個1”中，質數不能選，分解後沒有“個位數質因數”的不能選（如果您完全了解了《算式謎》一文中給出的解題方法的話，就會理解這麼做的原因）。此時隻剩下：

　　3個1：111＝3×37

　　6個1：111111＝3×7×11×13×37

　　9個1：111111111＝3×3×37×333667

　　（重要程度★★★★★）

　　其中“9個1”已經有了“題4”。我們嘗試一下“3個1”和“6個1”，看能不能編出一道類似“題4”的題目。

　　（1）“3個1”

　　AB×□＝盼×3×37

　　根據前文分析有：□≠盼，“□”等于“盼×3”中任意乘積不大于9的組合。

　　設：盼＝1，則有：□＝3

　　設：盼＝2，則有：□＝3、6

　　設：盼＝3，則有：□＝9

　　設：盼＝4，則有：□＝3

　　設：盼＝5，則有：□＝3

　　設：盼＝6，則有：□＝3

　　設：盼＝7，則有：□＝3

　　設：盼＝8，則有：□＝3

　　設：盼＝9，則有：□＝3

　　驗證：

　　111÷3＝37，因數37中沒有數字1，舍去；

　　222÷3＝74，因數74中沒有數字2，舍去；

　　222÷6＝37，因數37中沒有數字2，舍去；

　　333÷9＝37，因數37中有數字3，符合題目要求，得到：37×9＝333；

　　444÷3＝148，從此後，因數148是三位數，更不合題目要求，全部舍去。

　　由此可見：□＞盼。

　　這才是二者之間的最強關系！！！

　　（重要程度★★★★★）

　　（2）“6個1”

　　ABCDE×□＝盼×3×7×11×13×37

　　已知：□＞盼，“□”等于“盼×3×7”中任意乘積不大于9的組合。

　　設：盼＝1，則有：□＝3、7

　　設：盼＝2，則有：□＝3、6、7

　　設：盼＝3，則有：□＝7、9

　　設：盼＝4，則有：□＝7

　　設：盼＝5，則有：□＝7

　　設：盼＝6，則有：□＝7

　　設：盼＝7，則有：□＝無

　　設：盼＝8，則有：□＝無

　　設：盼＝9，則有：□＝無

　　驗證：

　　111111÷3＝37037，因數37037中沒有數字1且有重複數字，舍去；

　　111111÷7＝15873，滿足條件，得到：15873×7＝111111；

　　222222÷3＝74074，舍去；

　　222222÷6＝37037，舍去；

　　222222÷7＝31746，因數31746中沒有數字2，舍去；

　　333333÷7＝47619，因數47619中沒有數字3，舍去；

　　333333÷9＝37037，舍去；

　　444444÷7＝63492，滿足條件，得到：63492×7＝444444；

　　555555÷7＝79365，滿足條件，得到：79365×7＝555555；

　　666666÷7＝95238，因數95238中沒有數字6，舍去。

　　題4如下：

　　開放的中國盼奧運×□＝盼盼盼盼盼盼盼盼盼

　　換個形式：

　　ABCDEFGH×□＝FFFFFFFFF

　　答案是：

　　86419753×9＝777777777

　　尋找到的新題有4道：

　　37×9＝333，概括形式為：AB×□＝AAA；

　　15873×7＝111111，概括形式為：ABCDE×□＝AAAAAA；

　　63492×7＝444444，概括形式為：ABCDE×□＝CCCCCC；

　　79365×7＝555555，概括形式為：ABCDE×□＝EEEEEE。

　　也許，還有一個結論：

　　本文将形如“題4”的題目窮盡了，世間再無第6道！！！

　　（震撼程度★★★★★）

　　學習數學，不折騰，您永遠不會知道自己會發現什麼。

　　再會。

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